Question

Решите пожалуйста Дифференциальное уравнение. y''-9y=5cos4x. Распишите пожалуйста максимально подробное решение и объяснение почему сделали такой шаг. Мне нужно будет потом объяснить учителю.​​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Конечно, давайте решим это дифференциальное уравнение.

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом: $y'' - 9y = 5\cos(4x).$

Для решения этого уравнения используем метод вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения: $y'' - 9y = 0.$

Характеристическое уравнение для однородной части имеет вид: $r^2 - 9 = 0.$

Это квадратное уравнение имеет два корня: $r_1 = 3, \quad r_2 = -3.$

Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: $y_h(x) = C_1e^{3x} + C_2e^{-3x},$ где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: $y_p(x) = A\cos(4x) + B\sin(4x),$ где $A$ и $B$ - неизвестные постоянные, которые мы должны найти.

Теперь вычислим первую и вторую производные $y_p(x)$: $y_p'(x) = -4A\sin(4x) + 4B\cos(4x),$ $y_p''(x) = -16A\cos(4x) - 16B\sin(4x).$

Подставим эти производные обратно в исходное уравнение и приравняем его к правой части: $-16A\cos(4x) - 16B\sin(4x) - 9(A\cos(4x) + B\sin(4x)) = 5\cos(4x).$

Теперь сгруппируем похожие члены: $-(16A + 9A)\cos(4x) - (16B + 9B)\sin(4x) = 5\cos(4x).$

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях, получаем два уравнения: $-25A = 5,$ $-25B = 0.$

Из первого уравнения найдем $A$: $A = \frac{5}{-25} = -\frac{1}{5}.$

Из второго уравнения найдем $B$: $B = \frac{0}{-25} = 0.$

Таким образом, мы нашли частное решение неоднородного уравнения: $y_p(x) = -\frac{1}{5}\cos(4x).$

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1e^{3x} + C_2e^{-3x} - \frac{1}{5}\cos(4x).$

Это и есть окончательное решение данного дифференциального уравнения. Вы можете объяснить вашему учителю каждый шаг, начиная с характеристического уравнения для однородной части, затем метода вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородной части и окончательного суммирования общего и частного решений.