Question

Дана геометрическая прогрессия bn. Найдите q и n, если b1=2; bn=2^-3; Sn=3 целых 7/8

Answer 1

$b_1=2 \\ \\ b_n=2^{-3} \\ \\ S_n=3\frac{7}{8}=\frac{31}{8} \\ \\ S_n=\frac{b_n\cdot q-b_1}{q-1} \\ \\ \frac{31}{8}=\frac{2^{-3}\cdot q-2}{q-1} \\ \\ 31\cdot (q-1) =8\cdot (2^{-3}\cdot q-2) \\ \\ 31q-31 =1\cdot q -16 \\ \\ 31q-q=-16+31 \\ \\ 30q=15 \\ \\ q=\frac{15}{30}=\frac{1}{2} \\ \\ b_n=b_1\cdot q^{n-1} \\ \\ 2^{-3}=2\cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \\ \\ \frac{2^{-3}}{2}=2^{-(n-1)} \\ \\ 2^{-4}=2^{-(n-1)} \\ \\ -4=-(n-1) \\ \\ -4 =-n+1 \\ \\ n=1+4 =5$

Answer 2

Для нахождения q и n в данной геометрической прогрессии, где b1 = 2 и bn = 2^(-3), а также известно, что сумма первых n членов Sn равна 3 целых 7/8, мы можем использовать формулы для суммы геометрической прогрессии.

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Мы знаем, что Sn = 3 целых 7/8. Давайте выразим Sn в виде десятичной дроби:

Sn = 3 + 7/8 = 3.875

Теперь мы можем записать уравнение:

3.875 = 2 * (1 - q^n) / (1 - q)

Далее, у нас есть b1 = 2 и bn = 2^(-3), что означает, что каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на q:

bn = b1 * q^(n-1)

2^(-3) = 2 * q^(n-1)

Теперь мы имеем систему двух уравнений:

1. 3.875 = 2 * (1 - q^n) / (1 - q)
2. 2^(-3) = 2 * q^(n-1)

Давайте решим эту систему. Сначала решим второе уравнение относительно q^(n-1):

2^(-3) = 2 * q^(n-1)

1/8 = q^(n-1)

Теперь возведем обе стороны в степень -3, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени:

(q^(n-1))^(-3) = (1/8)^(-3)

q^(-3(n-1)) = 8^3

q^(-3n+3) = 512

Теперь у нас есть выражение для q^(-3n+3). Давайте подставим это выражение в первое уравнение:

3.875 = 2 * (1 - (512/q^3)) / (1 - q)

Решим это уравнение численно для q. Найдем общий знаменатель и упростим:

3.875 = 2 * ((q^3 - 512) / (q^3 - q))

Далее, умножим обе стороны на знаменатель и упростим:

7.75 * (q^3 - q) = 2 * (q^3 - 512)

Теперь у нас есть уравнение:

7.75q^3 - 7.75q = 2q^3 - 1024

Выразим все члены с q на одной стороне и все константы на другой:

5.75q^3 - 7.75q + 1024 = 0

Это уравнение для q. Решение этого уравнения даст нам значение q. Как только мы найдем q, мы сможем найти n из второго уравнения:

1/8 = q^(n-1)

В итоге, решая численно уравнение 5.75q^3 - 7.75q + 1024 = 0, вы найдете значение q, а затем, используя его, вы сможете найти значение n из уравнения 1/8 = q^(n-1).