Question

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными y' sin x - y ln y = 0

Answer 1

Ответ:

$y' \sin(x) - y ln(y) = 0 \\ \frac{dy}{dx} \sin(x) = y ln(y) \\ \int\limits \frac{dy}{y ln(y) } = \int\limits \frac{dx}{ \sin(x) } \\ \int\limits\frac{d (ln(y)) }{ ln(y) } = ln( |tg \frac{x}{2} | ) + ln(C) \\ ln( | ln(y) | ) = ln( |Ctg \frac{x}{2} | ) \\ ln( |y| ) = Ctg \frac{x}{2}$

общее решение

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными y' sin x - y ln y = 0, мы сначала разделим переменные, переместив все члены с y на одну сторону уравнения и все члены с x на другую сторону:

y' sin x = y ln y

Теперь мы можем разделить обе стороны на y и переместить члены с x налево, а члены с y справа:

(y' / y) = (ln y) / sin x

Далее, мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫(ln y / sin x) dx

Интегрируя каждую сторону, получим:

ln |y| = -∫(ln y / sin x) dx + C

где C - произвольная константа интеграции.

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

|y| = e^(-∫(ln y / sin x) dx + C)

Обратите внимание, что |y| означает абсолютное значение y. Мы также можем заменить константу C на e^C, так как она также является произвольной константой.

Теперь, разделим полученное уравнение на абсолютное значение y и учтем, что абсолютное значение от y может быть равно 1 или -1:

y = ±e^C * e^(-∫(ln y / sin x) dx)

Теперь, мы можем записать e^C как новую произвольную константу K:

y = K * e^(-∫(ln y / sin x) dx)

Это общее решение данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.