Question

Y=2x-1/3x³знайти точки зростання на спадання та точки екстремуму функції​

Answer 1

Ответ:

точка мінімуму -√2, точка максимуму √2

Answer 2

Щоб знайти точки зростання та спадання, а також точки екстремуму функції $y = 2x - \frac{1}{3}x^3$, потрібно взяти похідну цієї функції і знайти її нулі.

1. Знайдемо похідну функції $y$: $y' = \frac{d}{dx} (2x - \frac{1}{3}x^3)$ $y' = 2 - x^2$

2. Знайдемо нулі похідної: $0 = 2 - x^2$ $x^2 = 2$ $x = \pm \sqrt{2}$

3. Знайдемо значення другої похідної: $y'' = \frac{d^2}{dx^2} (2 - x^2)$ $y'' = -2x$

   Значення другої похідної в точках $x = -\sqrt{2}$ і $x = \sqrt{2}$ дорівнює $2\sqrt{2}$ і $-2\sqrt{2}$ відповідно.

Тепер аналізуємо результати:

• Точки зростання і спадання:

  • Функція $y$ зростає, коли $y' > 0$. Це відбувається, коли $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
  • Функція $y$ спадає, коли $y' < 0$. Це відбувається, коли $x < -\sqrt{2}$ або $x > \sqrt{2}$.

• Точки екстремуму:

  • Функція має локальний максимум в $x = -\sqrt{2}$ (оскільки $y''(-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} > 0$).
  • Функція має локальний мінімум в $x = \sqrt{2}$ (оскільки $y''(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} < 0$).

Таким чином, функція $y = 2x - \frac{1}{3}x^3$ зростає на інтервалі $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$, спадає на інтервалах $x < -\sqrt{2}$ і $x > \sqrt{2}$, та має локальний максимум в $x = -\sqrt{2}$ та локальний мінімум в $x = \sqrt{2}$