Question

Найдите производную функции (sin2x + 3)^4

Answer 1

Ответ:          8cos2x (sin2x + 3)³ .

Пошаговое объяснение:

f(x) = (sin2x + 3)⁴ ;    f '(x) = 4 (sin2x + 3)³ * ( cos2x *( 2x )' + 0 =

= 4 (sin2x + 3)³ * 2cos2x = 8cos2x (sin2x + 3)³ .

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = (sin^2(x) + 3)^4$ сначала используем цепное правило (chain rule), так как у нас есть функция внутри степени.

Обозначим внутреннюю функцию как $u(x) = \sin^2(x) + 3$, а внешнюю как $v(u) = u^4$.

Теперь найдем производные этих функций:

1. $u(x) = \sin^2(x) + 3$

   • $u'(x) = 2\sin(x)\cos(x)$, по формуле производной суммы.

2. $v(u) = u^4$

   • $v'(u) = 4u^3$, по степенному правилу.

Теперь мы можем применить цепное правило, чтобы найти производную функции $f(x)$:

$f'(x) = v'(u) \cdot u'(x)$

$f'(x) = (4u^3) \cdot (2\sin(x)\cos(x))$

Теперь подставим обратно выражения для $u(x)$ и $v(u)$:

$f'(x) = (4(\sin^2(x) + 3)^3) \cdot (2\sin(x)\cos(x))$

Это и есть производная функции $f(x) = (sin^2(x) + 3)^4$.