Question

Знайти екстремуми функції z=-4x³+18xy²-15y³+6x²-9y²+1

Answer 1

Ответ:

помоему 9xy

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $z = -4x^3 + 18xy^2 - 15y^3 + 6x^2 - 9y^2 + 1$, спершу знайдемо часткові похідні за $x$ та $y$, а потім розв'яжемо систему рівнянь для знаходження точок, де ці похідні дорівнюють нулю.

Часткова похідна за $x$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -12x^2 + 18y^2 + 12x$$

Часткова похідна за $y$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 36xy - 30y^2 - 18y$$

Тепер встановимо ці похідні рівними нулю та вирішимо систему рівнянь:

$$\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = -12x^2 + 18y^2 + 12x = 0 \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 36xy - 30y^2 - 18y = 0 \end{cases}$$

З першого рівняння можна винести 6x за дужки:

$$-6x(2x - 3y - 2) = 0$$

З другого рівняння можна винести 6y за дужки:

$$6y(6x - 5y - 3) = 0$$

Тепер маємо два набори рівнянь:

1. $-6x = 0$ або $2x - 3y - 2 = 0$
2. $6y = 0$ або $6x - 5y - 3 = 0$

Давайте розглянемо ці набори окремо:

Набір 1:

1. $-6x = 0$ означає $x = 0$.
2. $2x - 3y - 2 = 0$ означає $2x = 3y + 2$, або $x = \frac{3y}{2} + 1$.

Набір 2:

1. $6y = 0$ означає $y = 0$.
2. $6x - 5y - 3 = 0$ означає $6x = 5y + 3$, або $x = \frac{5y}{6} + \frac{1}{2}$.

Тепер ми маємо чотири можливі точки екстремуму:

1. $(x, y) = (0, 0)$
2. $(x, y) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$
3. $(x, y) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$
4. $(x, y) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{5}\right)$

Тепер ми повинні знайти значення функції $z$ в цих точках, щоб визначити, які з них є мінімумами або максимумами. Для цього підставимо ці значення $(x, y)$ у вихідну функцію $z$:

1. $z(0, 0) = -4(0)^3 + 18(0)(0)^2 - 15(0)^3 + 6(0)^2 - 9(0)^2 + 1 = 1$
2. $z\left(\frac{3}{2}, 0\right) = -4\left(\frac{3}{2}\right)^3 + 18\left(\frac{3}{2}\right)(0)^2 - 15(0)^3 + 6\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 9(0)^2 + 1 = -\frac{27}{4} + \frac{27}{2} + \frac{27}{4} + \frac{27}{4} = \frac{27}{2}$