Question

Сколько корней имеет уравнение cos⁡x=√3/2, принадлежащие отрезку [-2π; π/2]? Выберите один ответ: 2 корня 3 корня Не имеет корней 1 корень

Answer 1

Ответ:

решаем уравнение:

\begin{gathered}ctg(3x- \frac{\pi}{6} )=\sqrt{3} \\3x- \frac{\pi}{6}= \frac{\pi}{6} +\pi n,\ n \in Z \\3x= \frac{2\pi}{6} +\pi n,\ n \in Z \\x= \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} ,\ n \in Z \\\end{gathered}

ctg(3x−

6

π

)=

3

3x−

6

π

=

6

π

+πn, n∈Z

3x=

6

2π

+πn, n∈Z

x=

9

π

+

3

πn

, n∈Z

проводим отбор корней, решаем неравенство, зная, что n - целое число

\begin{gathered}- \frac{5\pi}{2} \leq \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \leq -2\pi \\-2,5 \leq \frac{1}{9} + \frac{n}{3} \leq -2 \\-22,5 \leq 1+3n \leq -18 \\-23,5 \leq 3n \leq -19 \\- \frac{23,5}{3} \leq n \leq - \frac{19}{3} \\ -7,83 \leq n \leq -6,3 \\n=-7\end{gathered}

−

2

5π

≤

9

π

+

3

πn

≤−2π

−2,5≤

9

1

+

3

n

≤−2

−22,5≤1+3n≤−18

−23,5≤3n≤−19

−

3

23,5

≤n≤−

3

19

−7,83≤n≤−6,3

n=−7

нам подойдет только 1 корень:

n=-7;\ x= \frac{\pi}{9} - \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi-21\pi}{9} =- \frac{20\pi}{9}n=−7; x=

9

π

−

3

7π

=

9

π−21π

Answer 2

Ответ: 3 корня

Пошаговое объяснение:cos⁡x=√3/2, ⇒

x=±arccos√3/2+2nπ, где n∈Z, т.е.

x=± π/6 +2nπ, где n∈Z,

Корни уравнения, их количество можно определить из графика функции у=Cosx, построитьна этой же координатной плоскости прямую у= √3/2. Затем на нужном промежутке найти количество точек пересечения.

У нас на [-2π; π/2] график у=cosx пересекает прямую у=√3/2 в трёх точках.

Answer 3

Уравнение $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два корня на интервале от 0 до $2\pi$ (и, соответственно, на интервале от $-2\pi$ до $\pi/2$), так как значение $\cos(x)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках на окружности единичного радиуса, а именно при $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, уравнение имеет 2 корня на заданном интервале. Ответ: 2 корня.