Question

Мастер обслуживает шесть однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания мастера в течение дня, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение дня мастеру придется вмешаться в работу станков: а) меньше одного раза; б) больше двух раз; в) не меньше трёх раз; г) не больше двух раз; д) от двух до пяти раз.

Answer 1

Повторные испытания с двумя исходами:

придется вмешаться и не придется вмешаться.

p=0,2 -вероятность того, что станок потребует внимания мастера в течение дня

q=1-p=1-0,2=0,8- вероятность того, что станок не потребует внимания мастера в течение дня

По формуле Бернулли

$P_{n}(k)=C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k}$ -  вероятность того что из серии в n испытаний событие появится ровно k раз

В задаче

n=6

а) меньше одного раза

k≤1

$P_{6}(0)=C^{0}_{6}\cdot0,2^{0}\cdot0,8^{6}=0,8^6=0,262144\\\\P_{6}(1)=C^{1}_{6}\cdot0,2^{1}\cdot0,8^{5}=6\cdot 0,2\cdot 0,8^5=0,393216$

О т в е т. a)

$P_{6}0)+P_{6}(1)=0,262144+0,393216=0,65536$

б) больше двух раз - 3;4;5;6  станков

$P_{6}(3)=C^{3}_{6}\cdot0,2^{3}\cdot0,8^{3}\\\\P_{6}(4)=C^{4}_{6}\cdot0,2^{4}\cdot0,8^{2}\\\\P_{6}(5)=C^{5}_{6}\cdot0,2^{5}\cdot0,8^{1}\\\\P_{6}(6)=C^{6}_{6}\cdot0,2^{6}\cdot0,8^{0}$

И складываем результаты

в) не меньше трёх раз - значит, 3; 4;5;6  станков

так же как в б)

г) не больше двух раз-  значит 0; 1; 2 станков

как в а) и добавить

$P_{6}(2)=C^{2}_{6}\cdot0,2^{2}\cdot0,8^{4}$

д) от двух до пяти раз- значит 2; 3; 4 ;5  станков

$P_{6}(2)=C^{2}_{6}\cdot0,2^{2}\cdot0,8^{4}\\\\P_{6}(3)=C^{3}_{6}\cdot0,2^{3}\cdot0,8^{3}\\\\P_{6}(4)=C^{4}_{6}\cdot0,2^{4}\cdot0,8^{2}\\\\P_{6}(5)=C^{5}_{6}\cdot0,2^{5}\cdot0,8^{1}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть последовательность независимых событий (работа каждого станка) с фиксированной вероятностью успеха (0,2).

Формула для биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:

• P(X = k) - вероятность того, что событие произойдет k раз
• n - общее количество испытаний (в данном случае станков)
• k - количество раз, которое событие произойдет (количество раз, когда мастеру придется вмешаться)
• p - вероятность успеха в одном испытании (вероятность того, что станок потребует внимания мастера)

a) Вероятность того, что мастеру придется вмешаться меньше одного раза (т.е., 0 или 1 раз): P(X < 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

Для X = 0: P(X = 0) = C(6, 0) * (0.2)^0 * (0.8)^6 = 1 * 1 * 0.262144 = 0.262144

Для X = 1: P(X = 1) = C(6, 1) * (0.2)^1 * (0.8)^5 = 6 * 0.2 * 0.32768 = 0.393216

Теперь сложим эти вероятности: P(X < 1) = 0.262144 + 0.393216 = 0.65536

б) Вероятность того, что мастеру придется вмешаться больше двух раз (т.е., 3, 4, 5 или 6 раз): P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 2)

Для X = 0 и X = 1 мы уже рассчитали вероятности в предыдущем пункте.

Для X = 2: P(X = 2) = C(6, 2) * (0.2)^2 * (0.8)^4 = 15 * 0.04 * 0.4096 = 0.24576

Теперь сложим эти вероятности и вычтем из 1: P(X > 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) = 1 - (0.262144 + 0.393216 + 0.24576) = 1 - 0.90112 = 0.09888

в) Вероятность того, что мастеру придется вмешаться не меньше трех раз (т.е., 3, 4, 5 или 6 раз): P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3)

Для X = 0, 1 и 2 мы уже рассчитали вероятности в предыдущих пунктах.

Теперь сложим эти вероятности и вычтем из 1: P(X ≥ 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) = 1 - 0.90112 = 0.09888

г) Вероятность того, что мастеру придется вмешаться не больше двух раз (т.е., 0, 1 или 2 раза): P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Мы уже рассчитали эти вероятности в пунктах (a) и (б): P(X ≤ 2) = 0.262144 + 0.393216 + 0.24576 = 0.90112

д) Вероятность того, что мастеру придется вмешаться от двух до пяти раз (т.е., 2, 3, 4 или 5 раз): P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Для X = 2, 3, 4 и 5 мы можем рассчитать вероятности, используя формулу биномиального распределения, как в пункте (б).

Для X = 2: P(X = 2) = 0.24576 (уже рассчитано)

Для X = 3: P(X = 3) = C(6, 3) * (0.2)^3 * (0.8)^3 = 20 * 0.008 * 0.512 = 0.8192

Для X = 4: P(X = 4) = C(6, 4) * (0.2)^4 * (0.8)^2 = 15 * 0.0016 * 0.64 = 0.1536

Для X = 5: P(X = 5) = C(6, 5) * (0.2)^5 * (0.8)^1 = 6 * 0.00032 * 0.8 = 0.012288

Теперь сложим эти вероятности: P(2 ≤ X ≤ 5) = 0.24576 + 0.8192 + 0.1536 + 0.012288 = 1.230848

Итак, вероятности:

а) P(X < 1) = 0.65536 б) P(X > 2) = 0.09888 в) P(X ≥ 3) = 0.09888 г) P(X ≤ 2) = 0.90112 д) P(2 ≤ X ≤ 5) = 1.230848