Question

найти объем тела образованного вращением вокруг оси ох фигуры ограниченной линиями 2х-у-2= 0 у= 0 х= 3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики функций и получаем

конус с радиусом основания r = 4 и высотой h = 2

$\displaystyle V=\frac{1}{3} \pi r^2h=\frac{32\pi }{3}$

или через интеграл

$\displaystyle V=\pi \int\limits^3_1 {(2x-2)^2} \, dx =4\pi \int\limits^3_3 {(x^2-2x+1)} \, dx =4\pi \bigg (\frac{x^3}{3} -x^2+x \bigg)\bigg |_1^3=$

$\displaystyle =4\pi \bigg (\frac{26}{3} -6+2 \bigg ) = \frac{32\pi }{3}$

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси $x$, можно использовать метод цилиндрических слоев. Объем такого тела можно выразить интегралом:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

где:

• $f(x)$ - функция, описывающая верхнюю границу фигуры,
• $a$ и $b$ - пределы интегрирования.

В данном случае у нас есть уравнение $2x - y - 2 = 0$, которое можно переписать в виде $y = 2x - 2$. Таким образом, $f(x) = 2x - 2$.

Теперь мы должны определить пределы интегрирования. В данном случае, у нас есть ограничения $y = 0$ и $x = 3$. Следовательно, пределы интегрирования будут от $0$ до $3$.

Теперь мы можем записать интеграл для объема:

$V = \pi \int_{0}^{3} (2x - 2)^2 \,dx$

Вычислите этот интеграл, чтобы найти объем тела.