Question

Y''+2y'+5y= -2sinx Неоднородное дифференциальное уравнение​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как данное уравнение:

Y'' + 2Y' + 5Y = -2sin(x)

Вы можете использовать метод вариации постоянных. Первым шагом найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Y'' + 2Y' + 5Y = 0

Характеристическое уравнение для однородного уравнения имеет вид:

r^2 + 2r + 5 = 0

Дискриминант этого уравнения равен D = 2^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16, что меньше нуля. Это означает, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

r1 = (-2 + 4i)/2 = -1 + 2i r2 = (-2 - 4i)/2 = -1 - 2i

Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Y_h(x) = e^(-x) * (C1 * cos(2x) + C2 * sin(2x))

Теперь, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, предположим, что частное решение имеет вид:

Y_p(x) = A * sin(x) + B * cos(x)

Теперь найдем производные:

Y_p'(x) = A * cos(x) - B * sin(x) Y_p''(x) = -A * sin(x) - B * cos(x)

Подставим эти производные в неоднородное уравнение:

(-A * sin(x) - B * cos(x)) + 2(A * cos(x) - B * sin(x)) + 5(A * sin(x) + B * cos(x)) = -2sin(x)

Теперь сгруппируем члены:

(-A + 2B + 5A) * sin(x) + (-B - 2A + 5B) * cos(x) = -2sin(x)

Сравнивая коэффициенты при sin(x) и cos(x), получим систему уравнений:

1. -A + 2B + 5A = -2
2. -B - 2A + 5B = 0

Решая эту систему уравнений, найдем значения A и B:

Из уравнения (1): -A + 2B + 5A = -2 4A + 2B = 2 2A + B = 1

Из уравнения (2): -B - 2A + 5B = 0 3B - 2A = 0 3B = 2A

Теперь подставим значение 3B из уравнения (2) в уравнение (1):

2A + (2A/3) = 1 (8A/3) = 1

A = 3/8

Теперь найдем B:

3B = 2A 3B = 2 * (3/8) 3B = 3/4 B = 1/4

Итак, мы нашли частное решение для неоднородного уравнения:

Y_p(x) = (3/8) * sin(x) + (1/4) * cos(x)

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) = e^(-x) * (C1 * cos(2x) + C2 * sin(2x)) + (3/8) * sin(x) + (1/4) * cos(x)

Здесь C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они имеются.