Question

СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЕ!!!!!!!!!!!!! Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, которое удовлетворяет приведенным начальным условиям. y" + 4y = 3cos x, y(0) = 1, y'(0) = 2. СРОЧНО ПРОШУ!!!!!!!!!!!

Answer 1

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:

y''+4y=0

Составляем характеристическое уравнение:

k2+4=0

k1,2=± 2i – корни комплексные

α=0

β=2

Общее решение однородного имеет вид:

yодн.=eαх·(С1·cosβx+C2·sinβx))

В данном случае

yодн.=e0·х·(С1·cos2x+C2·sin2x)

yодн.=С1·cos2x+C2·sin2x

Находим общее решение неоднородного уравнение

y=yодн+участ

Так как правая часть содержит 3cosx

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:

yчаст=Acosx+Bsinx

Находим производную первого, второго порядка

y`част=–Asinx+Bcosx

y``част=–Acosx–Bsinx

подставляем в данное уравнение:

–Acosx–Bsinx+4·(Acosx+Bsinx)=3cosx

3Acosx+3Bsinx=3cosx

A=1

B=0

О т в е т.

y=yодн+yчаст

Answer 2

Для решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и начальными условиями, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

y'' + 4y = 0.

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения будет иметь вид:

r^2 + 4 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы получим два комплексных корня:

r1 = 2i, r2 = -2i.

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения в виде:

y_h(x) = Acos(2x) + Bsin(2x),

где A и B - произвольные константы.

Теперь перейдем к нахождению частного решения неоднородного уравнения. В данном случае неоднородность уравнения - 3cos(x). Чтобы найти частное решение, предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Ccos(x) + Dsin(x),

где C и D - константы, которые мы должны найти.

Теперь найдем производные частного решения:

y_p'(x) = -Csin(x) + Dcos(x), y_p''(x) = -Ccos(x) - Dsin(x).

Подставим эти производные в исходное уравнение:

(-Ccos(x) - Dsin(x)) + 4(Ccos(x) + Dsin(x)) = 3cos(x).

Теперь сгруппируем слагаемые:

(4C - C)*cos(x) + (4D - D)*sin(x) = 3cos(x).

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:

3cos(x) = (4C - C)cos(x), 0 = 3Ccos(x).

Отсюда видно, что C должно быть равно 0, так как иначе у нас не будет равенства.

Теперь рассмотрим коэффициент при sin(x):

0 = (4D - D)sin(x), 0 = 3Dsin(x).

Отсюда видно, что D также должно быть равно 0.

Таким образом, частное решение уравнения y'' + 4y = 3cos(x) равно нулю:

y_p(x) = 0.

Теперь мы можем найти общее решение неоднородного уравнения, используя общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (Acos(2x) + Bsin(2x)) + 0 = Acos(2x) + Bsin(2x).

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти значения констант A и B:

y(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A = 1, y'(0) = -2Asin(0) + 2Bcos(0) = 2B = 2.

Из первого уравнения получаем A = 1, а из второго уравнения получаем B = 1.

Итак, мы нашли значения констант A и B:

A = 1, B = 1.

Таким образом, частное решение с заданными начальными условиями:

y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) = 1cos(2x) + 1sin(2x) = cos(2x) + sin(2x).