Question

Неоднородное дифференциальное уравнение y’’-3y+2y=9e^2x срочно даю 55 баллов

Answer 1

Ответ:

$y'' - 3y '+ 2y = 9 {e}^{2x}$

1) Решение ОЛДУ:

$y ''- 3y '+ 2y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 3k + 2 = 0\\ D= 9 - 8 = 1 \\ k_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ k_2 = 1 \\ \\ y = C_1 {e}^{2 x } + C_2 {e}^{x}$

2) Подбираем у с неопределенными коэффициентами

$у= Ax {e}^{2x}$

$у '= A {e}^{2x} + 2Ax {e}^{2x} = Ae {}^{2x} (1 + 2x)$

$у''= 2Ae {}^{2x} (1 + 2x) + 2A {e}^{2x} = \\ = A{e}^{2x} (4 + 4x)$

Подставляем в НЛДУ

${e}^{2x} (4A+ 4Ax - 3 A- 6Ax + 2Ax) = 9 {e}^{2x} \\ Ae { }^{2x} = 9e {}^{2x} \\ A= 9$

$у= 9x {e}^{2x}$

Общее решение:

$y = C_1e {}^{2x} + C_2e {}^{x} + 9x {e}^{2x}$

Answer 2

Чтобы решить данное неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, y'' - 3y + 2y = 9e^(2x), мы можем воспользоваться методом вариации постоянных (методом Лагранжа). Уравнение выглядит следующим образом:

y'' - 3y + 2y = 9e^(2x)

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' - 3y + 2y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 3r + 2 = 0

Мы можем разложить его на множители:

(r - 2)(r - 1) = 0

Из этого уравнения получаем два корня:

r1 = 1 r2 = 2

Теперь найдем общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = c1 * e^r1x + c2 * e^r2x y_h(x) = c1 * e^x + c2 * e^(2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A * e^(2x), где A - это некоторая постоянная.

Теперь найдем производные этой функции:

y_p'(x) = 2A * e^(2x) y_p''(x) = 4A * e^(2x)

Теперь подставим y_p(x), y_p'(x), и y_p''(x) в исходное уравнение:

4A * e^(2x) - 3(A * e^(2x)) + 2(A * e^(2x)) = 9e^(2x)

Упростим это уравнение:

4A * e^(2x) - 3A * e^(2x) + 2A * e^(2x) = 9e^(2x)

A * e^(2x) = 9e^(2x)

A = 9

Теперь мы знаем, что A = 9. Итак, частное решение будет:

y_p(x) = 9e^(2x)

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = c1 * e^x + c2 * e^(2x) + 9e^(2x)

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y(x) = c1 * e^x + c2 * e^(2x) + 9e^(2x)

Вы можете выбрать значения c1 и c2, исходя из начальных условий, если они имеются, чтобы получить конкретное решение.