Question

Известно, что a≡12(mod15). При каких наименьших неотрицательных X и Y выполнены сравнения a≡X(mod3) и a≡Y(mod5)? X=Y=

Answer 1

Ответ:

x =0  ;  y = 2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Мы знаем, что $a \equiv 12 \pmod{15}$. Это означает, что $a$ отличается от 12 на некоторое кратное 15 число. В других словах, $a = 12 + 15k$, где $k$ - целое число.

Теперь давайте найдем наименьшее неотрицательное $k$, для которого $a$ делится на 3 и 5.

Для кратности 3, $a$ должно делиться на 3 без остатка. Подставив выражение для $a$, получаем:

$12 + 15k \equiv 0 \pmod{3}$.

Вычитаем 12 из обеих сторон:

$15k \equiv -12 \pmod{3}$.

Теперь делим обе стороны на 3:

$5k \equiv -4 \pmod{3}$.

Мы видим, что $k = 2$ является наименьшим целым числом, удовлетворяющим этому сравнению, так как $5 \cdot 2 \equiv 10 \equiv 1 \pmod{3}$. Таким образом, $k = 2$ удовлетворяет кратности 3.

Теперь найдем наименьшее неотрицательное $k$, для которого $a$ делится на 5. Имеем:

$12 + 15k \equiv 0 \pmod{5}$.

Вычитаем 12 из обеих сторон:

$15k \equiv -12 \pmod{5}$.

Делим обе стороны на 5:

$3k \equiv -2 \pmod{5}$.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от отрицательных чисел:

$6k \equiv -4 \pmod{5}$.

Теперь вычтем 4 из обеих сторон:

$6k - 4 \equiv 0 \pmod{5}$.

Далее, делим обе стороны на 2:

$3k - 2 \equiv 0 \pmod{5}$.

Мы видим, что $k = 3$ удовлетворяет этому сравнению, так как $3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7 \equiv 0 \pmod{5}$.

Итак, наименьшие неотрицательные целые числа $X$ и $Y$, для которых $a \equiv X \pmod{3}$ и $a \equiv Y \pmod{5}$, соответственно, равны:

$X = k = 2$, $Y = k = 3$.