Question

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 1000, можно выбрать таким образом, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность?

Answer 1

Ответ: 334

Пошаговое объяснение:

Все ждал пока детки добавят решение, но ладно уж, добавлю сам.

Как я понял, в условии предполагается, что числа должны быть различны, ибо возникает деление на 0.

Предположим, что в таком наборе существуют два числа a и b (a>b), разность которых равна 1, но тогда a+b делится на a-b, ибо  a-b = 1.

Мы пришли к противоречию, такое невозможно.

Предположим теперь, что в таком наборе существует два числа a и b (a>b), разность которых равна 2.  Два числа, разность которых равна 2 имеют одинаковую четность, а значит их сумма a+b является четной, то есть делится на их разность a-b = 2.

Мы пришли к противоречию, такое невозможно.

Таким образом, если данный набор упорядочить в порядке возрастания, то разность между соседними числами в данном наборе не менее 3.

Пусть в данном наборе n членов, тогда с учетом вышесказанного должно выполняться неравенство:

1+3(n-1) <=1000

3(n-1)<=999

n-1 <=333

n<=334

То есть в таком ряду не более 334 членов.

Покажем  набор с 334 членами.

Возьмем все числа, что при делении на 3 дают остаток 1 и не более 1000:

1,4,7,10,13..., 1000 = 1+3*333 , то есть как раз 334 числа.

Возьмем любые два числа a и b (a>b) из данного набора.

Поскольку числа a и b дают при делении на 3 остаток 1, то их сумма a+b дает при делении на 3 остаток 2, то есть не делится на 3, однако их разность a-b дает при делении на 3 остаток 0, то есть делится на 3, а значит сумма a+b не может делится на разность a-b, то есть данный набор удовлетворяет условию задачи.

Answer 2

Давайте рассмотрим это задание.

Максимальное число в вашей последовательности натуральных чисел не превосходит 1000. Мы хотим выбрать как можно больше чисел, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность.

Давайте начнем с нуля. Выберем число 1. Теперь мы можем выбрать только числа, которые не делятся на 1 (потому что иначе их сумма будет делиться на их разность). Это значит, что мы можем выбрать все нечетные числа, так как разность двух нечетных чисел всегда четна, и никакая из них не делится на 2.

Итак, мы можем взять все нечетные числа, не превосходящие 1000. В этом случае, наибольшее из них будет 999, и они будут следующие: 1, 3, 5, 7, ..., 999.

Чтобы проверить, что никакая сумма двух выбранных чисел не делится на их разность, мы можем рассмотреть случай, когда разность равна 2, так как это минимальная возможная разность для этих чисел. Ни одна из сумм (например, 1 + 3 = 4, 3 + 5 = 8 и так далее) не делится на 2, следовательно, данное условие выполняется для всех выбранных чисел.

Итак, максимальное количество натуральных чисел, которые можно выбрать так, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность, равно 500 (все нечетные числа от 1 до 999).