Question

Разложите на множители (10 баллов)p³- 7p² - 21p + 27

Answer 1

${p}^{3} - 7 {p}^{2} - 21p + 27 = {p}^{3} - 7 {p}^{2} - 21p + {3}^{3} = ( {p}^{3} + {3}^{3} ) - (7 {p}^{2} + 21p) =$

формула суммы кубов

${a}^{3} + {b}^{3} = (a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2} )$

, применяем:

$=( (p + 3)( {p}^{2} - 3p + 9)) - (7p(p + 3)) = (p + 3)(( {p}^{2} - 3p + 9) - 7p) = (p + 3)( {p}^{2} - 3p + 9 - 7p) = (p + 3)( {p}^{2} - 10p + 9)$

преобразуем выражение

$=( {p}^{2} - 10p + 9) = ({p}^{2} – 10p + 25) – 16 = {(p – 5)}^{2} – {4}^{2}$

формула разности квадратов

${a}^{2} – {b}^{2} = (a + b)(a – b)$

, применяем:

$=(p + 3)((p – 5 + 4)(p – 5 – 4)) = (p + 3)((p – 1)(p –9)) = (p + 3)(p – 1)(p – 9)$

Answer 2

Для разложения многочлена на множители мы сначала ищем его рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях. Рациональный корень (если таковой существует) будет делителем свободного члена (27) и будет делителем старшего коэффициента (1) многочлена. Затем, если мы найдем рациональный корень, мы можем применить синтетическое деление или метод деления полиномов для разложения многочлена на множители.

Сначала найдем рациональные корни:

1. Рациональные делители числа 27: ±1, ±3, ±9, ±27

2. Рациональные делители числа 1: ±1

Теперь мы можем проверить комбинации этих делителей как возможные рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях (теорему о применении разложения на множители).

Попробуем разные комбинации:

1. p = 1: 1³ - 7(1)² - 21(1) + 27 = 1 - 7 - 21 + 27 = 0 Корень p = 1.

Теперь мы знаем, что p = 1 - рациональный корень многочлена. Мы можем применить синтетическое деление или долгое деление, чтобы разложить многочлен на множители.

Сначала используем синтетическое деление:

markdownCopy code
   1 | 1   -7   -21   27
       |     1   -6   -27
       |______________
            1   -6   -27    0

Результатом синтетического деления является многочлен 1x² - 6x - 27. Теперь мы можем разложить его дальше:

1x² - 6x - 27 = (1x + 3)(1x - 9)

Теперь у нас есть разложение исходного многочлена на множители:

p³ - 7p² - 21p + 27 = (p - 1)(p + 3)(p - 9)

Таким образом, многочлен разложен на множители: (p - 1)(p + 3)(p - 9).