Question

Y'' + y' + y = 0 найти общее решение уравнения​

Answer 1

Ответ:

3+2у-3=0-32у=0-32у=-3у=-3

2

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение

$y'' + y' + y = 0$

является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для его решения предположим, что решение имеет вид $y = e^{rt}$, где $r$ - некоторая константа. Тогда, сначала найдем производные:

$y' = re^{rt}$ $y'' = r^2e^{rt}$

Подставим их в уравнение:

$r^2e^{rt} + re^{rt} + e^{rt} = 0$

Мы можем поделить обе части на $e^{rt}$, так как экспонента никогда не обращается в ноль:

$r^2 + r + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $r$. Используя квадратную формулу, мы найдем два корня:

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

Так как у нас есть комплексные корни, общее решение будет иметь вид:

$y(t) = e^{\frac{-t}{2}}(A\cos(\frac{\sqrt{3}t}{2}) + B\sin(\frac{\sqrt{3}t}{2}))$

где $A$ и $B$ - произвольные постоянные.