Question

Для функції f(x)=3x^2+1 знайти первісну, графік якої проходить через точку M(1;-3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Щоб знайти первісну функції $f(x) = 3x^2 + 1$, потрібно знайти антипохідну цієї функції. Антипохідна це обернена операція до похідної.

Спершу знайдемо антипохідну від кожного окремого члена функції $3x^2 + 1$:

1. Антипохідна від $3x^2$ відома і дорівнює $x^3$, оскільки похідна від $x^3$ дорівнює $3x^2$.
2. Антипохідна від константи 1 дорівнює самій цій константі, тобто 1.

Тепер ми маємо антипохідні окремих членів функції. За правилом суми для антипохідних, антипохідна від суми дорівнює сумі антипохідних:

$F(x) = \int (3x^2 + 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 1 dx$

Тепер знайдемо антипохідну від кожного окремого члена:

1. $\int 3x^2 dx$ дорівнює $\frac{3}{3}x^3 + C_1 = x^3 + C_1$, де $C_1$ - константа інтегрування.
2. $\int 1 dx$ дорівнює $x + C_2$, де $C_2$ - ще одна константа інтегрування.

Тепер об'єднаємо результати з обох інтегралів:

$F(x) = x^3 + C_1 + x + C_2$

Тепер ми маємо загальний вираз для первісної функції $F(x)$. Однак нам відомо, що графік цієї первісної функції проходить через точку $M(1, -3)$. Тобто, ми можемо визначити константи $C_1$ і $C_2$, використовуючи цю інформацію:

$F(1) = 1^3 + C_1 + 1 + C_2 = -3$

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно $C_1$ і $C_2$:

$C_1 + C_2 = -3 - 1 = -4$

Отже, ми знаходимо, що $C_1 + C_2 = -4$. Константи $C_1$ і $C_2$ можуть бути довільними числами, але їх сума має дорівнювати -4. Наприклад, можна взяти $C_1 = 0$ і $C_2 = -4$, або $C_1 = -2$ і $C_2 = -2$, і так далі.

Таким чином, первісна функція $F(x)$, графік якої проходить через точку $M(1, -3)$, буде мати вигляд:

$F(x) = x^3 + (C_2 - 1)x + C_2$

де $C_2$ - довільна константа, така що $C_2 + (C_2 - 1) = -4$.