Question

Докажите tgatgb+tgbtgy+tgytga=1, при а+b+y=п/2​

Answer 1

$\alpha +\beta +y=\pi/2\;=>\alpha =\pi/2-(\beta +y)\\\\tg\alpha =tg(\pi/2-(\beta +y))=ctg(\beta +y)=\frac{1}{tg(\beta +y)}\\\\tg(\beta +y)=\frac{tg\beta +tgy}{1-tg\beta*tgy}\\\\\\tga=\frac{1}{tg(\beta +y)}=\frac{1-tg\beta*tgy}{tg\beta +tgy}\; \; =>tg\beta +tgy=\frac{1-tg\beta *tgy}{tg\alpha}$

$tg\alpha *tg\beta+tgy*tg\alpha =tg\alpha (tg\beta +tgy)=tg\alpha*\frac{1-tg\beta *tgy}{tg\alpha}=1-tg\beta *tgy$

Теперь докажем, что

$tg\alpha*tg\beta +tg\beta*tgy+tgy*tg\alpha=1$

$(tg\alpha *tg\beta +tgy*tg\alpha )+tg\beta *tgy=1\\\\1-tg\beta *tgy+tg\beta *tgy=1\\\\1=1$

Левая часть = Правой части

Что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте попробуем доказать данное утверждение с использованием тригонометрических идентичностей и предположения, что $a + b + y = \frac{\pi}{2}$.

Мы знаем следующие тригонометрические идентичности:

1. $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
2. $\cos(0) = 1$

Рассмотрим выражение $tg(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))$ и попробуем его упростить.

Используя определение тангенса: $tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$$\begin{align*} & tg(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) \\ &= \frac{\sin(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))}{\cos(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))} \end{align*}$$

Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности для суммы углов:

$$\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$$

и

$$\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$$

Применим их к нашему выражению:

$$\begin{align*} & \sin(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) \\ &= \sin(atg(b))\cos(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) + \cos(atg(b))\sin(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) \end{align*}$$

и

$$\begin{align*} & \cos(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) \\ &= \cos(atg(b))\cos(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) - \sin(atg(b))\sin(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) \end{align*}$$

Теперь мы можем записать выражение в виде:

$$\begin{align*} & \frac{\sin(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))}{\cos(atg(b) + tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))} \\ &= \frac{\sin(atg(b))\cos(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) + \cos(atg(b))\sin(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))}{\cos(atg(b))\cos(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a)) - \sin(atg(b))\sin(tg(b)tg(y) + tg(y)tg(a))} \end{align*}$$

Теперь давайте рассмотрим $a + b + y = \frac{\pi}{2}$ и выразим $a$ и $y$:

$$a = \frac{\pi}{2} - (b + y)$$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

0 0