Question

Существует ли такое натуральное n, что число n¹⁹⁹⁶ оканчивается на 1996 ?​

Answer 1

нет не существует.

Последние четыре цифры, это остаток числа на 10000 , то есть

n^1996=10^4x+1996

Остаток в правой части на 4,   10^4 делится на 4, а 1996 = 4 mod 8

Тогда  n^1996 = 4 mod 8

но  

при  n=2k число n^1996 = (2k)^1996 = 8*2^1993*k^1996 = 0 mod 8

при n=2k+1 число n^1996=(2k+1)^1996=8x+1^1996 = 1 mod 8

то есть n^1996 = 0, 1 mod 8  значит таких чисел n,x  нет.  

Answer 2

Для определения, существует ли натуральное число n, такое что n¹⁹⁹⁶ оканчивается на 1996, можно воспользоваться теорией остатков и модульной арифметикой. Мы ищем n, удовлетворяющее следующему условию:

n¹⁹⁹⁶ ≡ 1996 (mod 10)

Сначала определим, какие значения имеют последние четыре цифры числа n¹⁹⁹⁶. Для этого возьмем остатки при делении n¹⁹⁹⁶ на 10⁴ (10 в четвертой степени):

n¹⁹⁹⁶ ≡ 1996 (mod 10⁴)

Теперь посмотрим, какие остатки дает 1996 при делении на 10⁴:

1996 % 10000 = 1996

Таким образом, последние четыре цифры числа n¹⁹⁹⁶ должны быть равны 1996. Теперь мы ищем натуральное n, которое удовлетворяет этому условию.

Давайте рассмотрим n = 199619961996...1996, где 1996 повторяется 499 раз. То есть n представляет собой число, в котором 1996 является блоком, повторяющимся 499 раз. Тогда:

n = 199619961996...1996 (499 раз)

Теперь давайте возведем n в степень 1996:

n¹⁹⁹⁶ = (199619961996...1996)¹⁹⁹⁶

Поскольку 1996 возводится в степень 1996, последние четыре цифры в каждом блоке останутся неизменными:

1996¹⁹⁹⁶ ≡ 1996 (mod 10⁴)

И так как n состоит из повторяющихся блоков 1996, последние четыре цифры числа n¹⁹⁹⁶ также будут равны 1996. Таким образом, существует натуральное число n, для которого n¹⁹⁹⁶ оканчивается на 1996.