Question

Помогите с решением предел n стрем. к беск. (6n-7/6n+4)^3n^3+2

Answer 1

Ответ:

216

Пошаговое объяснение:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{6n-7}{6n+4} )^3n^3+2=\lim_{n \to \infty} (\frac{(6n-7)^3}{(6n+4)^3}) n^3+2=\lim_{n \to \infty} (\frac{216n^3-756n^2+882n-343}{216n^3+432n^2+288n+64} )n^3+2=\lim_{n \to \infty} \frac{(216n^3-756n^2+882n-343)*n^3}{216n^3+432n^2+288n+64}+2=$$\lim_{n \to \infty} \frac{(216n^3-756n^2+882n-343)*n^3}{216n^3+432n^2+288n+64}+2=\lim_{n \to \infty} \frac{216n^6-756n^5+882n^4-343n^3}{216n^3+432n^2+288n+64}+2=\lim_{n \to \infty} \frac{216n^6-756n^5+882n^4-343n^3+2(216n^3+432n^2+288n+64)}{216n^3+432n^2+288n+64}=$

вот такой ужас получается

поделим и числитель и знаменатель на $n^6$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(216n^6-756n^5+882n^4-343n^3+2(216n^3+432n^2+288n+64)):n^6}{(216n^3+432n^2+288n+64):n^6}=$

при сокращении у нас останется в числителе число 216

остальное всё будет делиться на бесконечность и будет равное нулю

$\lim_{n \to \infty} \frac{(216-0+0-0+0(216n^3+432n^2+288n+64))}{(0+0+0+0)}=216$

$\frac{756n^5}{n^6}=\frac{756}{n}=\frac{756}{\infty}=0$ то же самое и с остальным

!!!

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

очень помогает в этом таблица

                                      1

                                   1    1

                                  1   2  1 $(a+b)^2$

                                1  3   3  1 $(a+b)^3$

                              1  4  6   4   1 $(a+b)^4$

ну и умение чередовать знаки

и знать как идет степень букв, то есть у a уменьшается ,  у б увеличивается по данной таблице

$(a+b)n=an+bn$

$\frac{a}{n}+2=\frac{a}{n}+\frac{2n}{n}=\frac{a+2n}{n}$ общий знаменатель при сложении

вроде все формулы которые нужны тут

Answer 2

Для решения данного предела, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, так как здесь имеется бесконечно большое исключение/исключительная форма (indeterminate form) вида "0/0". Давайте применим правило Лопиталя:

lim (n -> ∞) [(6n - 7) / (6n + 4)]^(3n^3 + 2)

Сначала найдем производные числителя и знаменателя:

d/dn [6n - 7] = 6 d/dn [6n + 4] = 6

Теперь выразим наш предел через производные:

lim (n -> ∞) [(6n - 7) / (6n + 4)]^(3n^3 + 2) = lim (n -> ∞) [(6/6)]^(3n^3 + 2) = lim (n -> ∞) (1)^(3n^3 + 2) = 1^(∞)

Последний предел вида 1^(∞) может быть неопределенным. Для определения его значения, нам нужно выполнить более глубокий анализ. В данном случае, можно воспользоваться логарифмическими свойствами и перейти к следующей форме:

lim (n -> ∞) (1)^(3n^3 + 2) = lim (n -> ∞) e^(ln(1) * (3n^3 + 2))

Теперь мы имеем предел вида "0 * ∞", который также неопределен. Однако, в данном случае, ln(1) = 0, и у нас остается следующее:

lim (n -> ∞) e^(0 * (3n^3 + 2)) = lim (n -> ∞) e^0 = 1

Таким образом, предел данной функции равен 1.