Question

Когда Мурад собирает шарики в коробке в группы по три , пять и семь штук , остаётся соответственно 2 , 4 и 6 лишних шариков . каково наименьшее количество шариков в коробке

Answer 1

Ответ:

9

.....

Пошаговое объяснение:

3+5+7+2+4+6:3

.

Answer 2

Эта задача связана с китайской теоремой об остатках, которая позволяет решать системы сравнений.

Давайте обозначим количество шариков в коробке как $x$. По условию задачи, у нас есть три сравнения:

1. $x \equiv 2 \pmod{3}$ (остаток от деления на 3 равен 2)
2. $x \equiv 4 \pmod{5}$ (остаток от деления на 5 равен 4)
3. $x \equiv 6 \pmod{7}$ (остаток от деления на 7 равен 6)

Мы можем использовать китайскую теорему об остатках для нахождения решения этой системы сравнений.

Сначала найдем $N$, который равен произведению модулей (3, 5, 7):

$N = 3 \times 5 \times 7 = 105$

Теперь найдем $N_1$, $N_2$ и $N_3$, которые представляют собой $N$ разделенное на каждый из модулей (3, 5, 7):

$N_1 = \frac{N}{3} = 35$ $N_2 = \frac{N}{5} = 21$ $N_3 = \frac{N}{7} = 15$

Теперь найдем обратные элементы $x_1$, $x_2$ и $x_3$ по модулям 3, 5 и 7, соответственно. То есть, $x_i$ удовлетворяют условиям $N_i x_i \equiv 1 \pmod{m_i}$, где $m_i$ - модуль.

1. $x_1 \equiv 35^{-1} \pmod{3}$
2. $x_2 \equiv 21^{-1} \pmod{5}$
3. $x_3 \equiv 15^{-1} \pmod{7}$

Вычисляем обратные элементы:

1. $x_1 \equiv 2 \pmod{3}$ (потому что $35 \times 2 = 70 \equiv 1 \pmod{3}$)
2. $x_2 \equiv 1 \pmod{5}$ (потому что $21 \times 1 = 21 \equiv 1 \pmod{5}$)
3. $x_3 \equiv 1 \pmod{7}$ (потому что $15 \times 1 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$)

Теперь мы можем найти решение $x$ путем суммирования произведений $N_i$, $x_i$ и остатков по модулю $m_i$:

$x = (2 \times 35 \times 2) + (4 \times 21 \times 1) + (6 \times 15 \times 1)$

$x = 140 + 84 + 90 = 314$

Теперь наименьшее положительное $x$, удовлетворяющее условиям задачи, это $x$ плюс наименьшее общее кратное модулей (3, 5, 7), то есть $105$:

$x_{\text{min}} = x + 105 = 314 + 105 = 419$

Таким образом, наименьшее количество шариков в коробке, удовлетворяющее условиям задачи, равно $419$.