Question

Знайти похідну dy/dx, якщо: а) y=∜tg3x/sin2x б) y=(arcsin x)^2x-5 в)x=1/2tg^2t, y=1/cost

Answer 1

Ответ:

а) значение 392&28

б)372_(#

в)363_-

Answer 2

Давайте знайдемо похідні для кожного з ваших виразів.

а) y = ∜(tg^3x/sin^2x)

Спочатку виразимо y в більш зручному вигляді:

y = ∜(tg^3x/sin^2x) = (tg^3x/sin^2x)^(1/4)

Тепер візьмемо похідну від цього виразу за допомогою правила ланцюгового правила:

dy/dx = (1/4) * (tg^3x/sin^2x)^(-3/4) * d(tg^3x/sin^2x)/dx

Давайте розглянемо диференціювання частини цього виразу:

d(tg^3x/sin^2x)/dx

Для обчислення цієї похідної скористаємось правилом диференціювання частки:

d(tg^3x/sin^2x)/dx = (d(tg^3x)/dx * sin^2x - tg^3x * d(sin^2x)/dx) / (sin^2x)^2

Для обчислення цих похідних використовуйте правила диференціювання тригонометричних і показникових функцій:

d(tg^3x)/dx = 3 * tg^2x * sec^2x

d(sin^2x)/dx = 2 * sinx * cosx

Після підстановки отримаємо:

d(tg^3x/sin^2x)/dx = (3 * tg^2x * sec^2x * sin^2x - 2 * tg^3x * sinx * cosx) / (sin^4x)

Тепер вставимо це в нашу похідну dy/dx:

dy/dx = (1/4) * (tg^3x/sin^2x)^(-3/4) * (3 * tg^2x * sec^2x * sin^2x - 2 * tg^3x * sinx * cosx) / (sin^4x)

б) y = (arcsin(x))^2x - 5

Давайте використовувати правило ланцюгового диференціювання для цього виразу. Припустимо, що функція f(u) = u^2, і g(x) = arcsin(x), тоді ваша функція y може бути виражена як y = f(g(x)).

Для обчислення похідної за правилом ланцюгового диференціювання, ми використовуємо наступну формулу:

dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)

Де f'(u) - похідна функції f(u), g'(x) - похідна функції g(x).

f'(u) = 2u, g'(x) = 1/√(1-x^2)

Тепер можемо обчислити похідну:

dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * arcsin(x) * (1/√(1-x^2))

Тепер ми маємо обидві похідні:

а) dy/dx = (1/4) * (tg^3x/sin^2x)^(-3/4) * (3 * tg^2x * sec^2x * sin^2x - 2 * tg^3x * sinx * cosx) / (sin^4x)

б) dy/dx = 2 * arcsin(x) * (1/√(1-x^2))