Question

35.8 доведіть, що коли проекції двох похилих, проведених до площини з однієї точки, рівні, тоє рівними й похилі

Answer 1

ПОХИЛI ТА ЇХ ПРОЕКЦIЇ. ТЕОРІЯ. РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ НА ОБЧИСЛЕННЯ

Теорія:

Перпендикуляром, проведеним з деякої точки до заданої прямої, називається відрізок, що лежить на прямій, перпендикулярній до заданої прямої і з кінцями в заданій точці, і точки, що лежить на заданій прямій. Кінець перпендикуляра, що лежить на прямій, до якої він проведений, називається основою перпендикуляра.

Похила — будь-який відрізок, проведений із точки на пряму, відмінний від перпендикуляра. Кінець похилої, що лежить на прямій, до якої він проведений, називається основою похилої.

Відрізок, що сполучає кінець перпендикуляра і похилої до прямої, проведених з однієї точки, називається проекцією похилої на пряму.

Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра.

Рівні похилі мають рівні проекції.

Якщо проекції похилих рівні, то рівні і похилі.

Із двох похилих більшою є та, у якої більша проекція на пряму.

Більшій похилій відповідає більша проекція і навпаки.

Answer 2

Для доведення цього твердження спочатку розглянемо дві похилі лінії, які проведені до площини і мають рівні проекції з однієї точки. Нехай ці лінії будуть лініями AB і CD, і їх проекції на площині будуть точками A' і C', які лежать в одній точці O (тобто, A'O = C'O).

Тепер давайте припустимо, що ці дві лінії не є рівними похиліми. Це означає, що кут між ними не дорівнює нулю. Нехай цей кут позначається як θ.

Тепер ми можемо розглянути площину, яка перпендикулярна до площини, де лежать проекції A' і C'. Нехай ця площина буде площиною P.

Так як A'O = C'O, то точки A' і C' лежать на одній прямій, яка лежить в площині P.

Також, оскільки лінії AB і CD не є паралельними (оскільки вони не є рівними похиліми), то їхні проекції на площину P не можуть бути паралельними.

Але це суперечить тому, що A' і C' лежать на одній прямій, яка лежить в площині P. Якщо проекції на одній прямій не є паралельними, то це означає, що проекції на будь-якій іншій прямій, яка перетинає цю пряму, також не можуть бути паралельними. Отже, лінії AB і CD повинні бути рівними похиліми.

Отже, ми довели, що якщо проекції двох похилих ліній, проведених до площини з однієї точки, рівні, то ці лінії також є рівними похиліми.