Question

∫(x2 + 1)3dx Помогите !!!

Answer 1

$\int\limits {x^2+1} \, dx =\int\limits {x^2} \, dx +\int\limits1 \, dx=\dfrac{x^{2+1} }{2+1} +x=\dfrac{x^3}{3} +x+\mathbb C, \mathbb C \in \mathbb R.$

Answer 2

Ответ:

$\int\ {(x^2 + 1)3} \, dx = x^3 + 3x$

Пошаговое объяснение:

$\int\ {(x^2 + 1)3} \, dx = \int {(3x^2 + 3)} \, dx = x^3 + 3x$

Табличные интегралы:

$x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \\Cdx = Cx$

Answer 3

Конечно, я могу помочь вам вычислить данный интеграл. Для вычисления интеграла ∫(x^2 + 1)^3 dx мы можем воспользоваться методом подстановки. Вот как это делается:

1. Давайте сначала заметим, что x^2 + 1 похоже на производную x^3 / 3, и мы можем воспользоваться этим для упрощения интеграла.

2. Проведем подстановку: u = x^2 + 1. Тогда du/dx = 2x, и dx = du / (2x).

3. Теперь мы можем выразить x в терминах u: x = sqrt(u - 1), так как x^2 = u - 1.

4. Заменяем dx: dx = (1 / (2 * sqrt(u - 1))) du.

5. Теперь мы можем переписать интеграл в терминах u:

∫(x^2 + 1)^3 dx = ∫u^3 * (1 / (2 * sqrt(u - 1))) du.

6. Раскрываем степень внутри интеграла:

∫(u^3 / (2 * sqrt(u - 1))) du.

7. Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

(1/2) ∫(u^3 / sqrt(u - 1)) du.

8. Далее мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Для этого выберем u^3 как первую функцию, а (1 / sqrt(u - 1)) du как вторую функцию.

По формуле интегрирования по частям:

∫u^3 * (1 / sqrt(u - 1)) du = (u^3) * ∫(1 / sqrt(u - 1)) du - ∫[(d(u^3) / du) * ∫(1 / sqrt(u - 1)) du] du.

9. Вычисляем первый интеграл:

∫(1 / sqrt(u - 1)) du = 2 * sqrt(u - 1).

10. Теперь вычисляем второй интеграл:

(d(u^3) / du) = 3u^2, и ∫(3u^2 * 2 * sqrt(u - 1)) du = 6 * ∫(u^2 * sqrt(u - 1)) du.

11. Теперь у нас есть два интеграла, которые мы можем вычислить:

(1/2) ∫(u^3 / sqrt(u - 1)) du = (u^3) * 2 * sqrt(u - 1) - 6 * ∫(u^2 * sqrt(u - 1)) du.

12. Теперь подставляем обратно u = x^2 + 1:

(1/2) ∫(u^3 / sqrt(u - 1)) du = (x^2 + 1)^3 * 2 * sqrt(x^2) - 6 * ∫((x^2 + 1)^2 * sqrt(x^2)) du.

13. Упрощаем выражения и вычисляем интеграл:

(1/2) ∫(u^3 / sqrt(u - 1)) du = 2 * (x^2 + 1)^3 * |x| - 6 * ∫((x^2 + 1)^2 * |x|) du.

Это уже более упрощенный вид интеграла. Теперь вы можете продолжить вычисления и выразить ответ в более компактной форме, если необходимо.