Question

Помогите, нужно найти область определения функции, точки разрыва и промежутки непрерывности, промежутки законопостоянства, периодичность Функция: y=(x2+4)/x3

Answer 1

Ответ:фото

Пошаговое объяснение:

Вышло достаточно сумбурно. Если есть технические вопросы, постараюсь объяснить.

Answer 2

Давайте разберемся с вашей функцией поэтапно.

Функция: $y = \frac{x^2 + 4}{x^3}$

1. Область определения функции: Область определения - это множество значений $x$, для которых функция имеет смысл и не вызывает деление на ноль. В данном случае, функция не будет определена, если знаменатель равен нулю (так как деление на ноль невозможно). Таким образом, область определения будет всем множеством действительных чисел, за исключением $x = 0$, так как $x = 0$ приведет к знаменателю равному нулю.

Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq 0$

2. Точки разрыва: Точки разрыва могут возникнуть, если функция не является непрерывной в каких-то точках области определения. В данном случае, функция имеет разрыв в точке $x = 0$, так как в этой точке знаменатель становится равным нулю, что приводит к разрыву.

Точки разрыва: $x = 0$

3. Промежутки непрерывности: Функция будет непрерывной в любой точке области определения, кроме точки разрыва. Таким образом, промежутки непрерывности будут для всех значений $x$ из области определения, за исключением точки $x = 0$.

Промежутки непрерывности: $(- \infty, 0) \cup (0, +\infty)$

4. Промежутки законопостоянства: Чтобы найти промежутки законопостоянства, нужно определить знак производной функции в каждом из промежутков непрерывности. Для этого вычислим производную функции:

$y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2 + 4}{x^3}\right)$

Используя правило дифференцирования частного и правило дифференцирования степенной функции, получим:

$y' = \frac{(x^2 + 4)' \cdot x^3 - (x^3)' \cdot (x^2 + 4)}{(x^3)^2}$

$y' = \frac{(2x \cdot x^3 - 3x^2 \cdot (x^2 + 4))}{x^6}$

$y' = \frac{2x^4 - 3x^4 - 12x^2}{x^6}$

$y' = \frac{-x^4 - 12x^2}{x^6}$

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю, чтобы найти критические точки и определить промежутки законопостоянства:

$\frac{-x^4 - 12x^2}{x^6} = 0$

$x^4 + 12x^2 = 0$

$x^2(x^2 + 12) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt{12}$ (или $x_2 = -\sqrt{12}$)

Теперь определим знак производной в интервалах между этими точками:

1. Если $x < -\sqrt{12}$, то $y' > 0$, так как $-x^4 - 12x^2 < 0$ и $x^6 > 0$. Это значит, что функция возрастает на этом интервале.

2. Если $-\sqrt{12} < x < 0$, то $y' < 0$, так как $-x^4 - 12x^2 > 0$ и $x^6 > 0$. Это значит, что функция убывает на этом интервале.

3. Если $0 < x < \sqrt{12}$