Question

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1×4 и 2×2. Плитки выпали из коробки, и одна плитка 2×2 потерялась. Её заменили плиткой 1×4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение:

Рассмотрим раскраску в 4 цвета, такую, что каждая плитка 2 × 2 содержит ровно одну клетку цвета 1, а каждая плитка 1 × 4 - ни одной или две клетки цвета 1. Следовательно, четность числа плиток 2 × 2 должна совпадать с четностью числа клеток цвета 1, что и доказывает утверждение задачи

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим площади плиток 1×4 и 2×2.

Плитка 1×4 имеет площадь 1 * 4 = 4 квадратных единицы.

Плитка 2×2 имеет площадь 2 * 2 = 4 квадратных единицы.

Поскольку вы сначала имели плитку 2×2, которая заменяется плиткой 1×4, обратим внимание, что суммарная площадь плиток не изменилась: 4 + 4 = 8 квадратных единиц.

Теперь предположим, что вы хотите вымостить дно коробки размером 8 квадратных единиц плитками 1×4. Однако это невозможно, потому что плитки 1×4 покрывают 4 квадратных единицы каждая, и вы не сможете вымостить всю площадь в 8 квадратных единиц с плитками 1×4.

Поэтому, после замены плитки 2×2 на плитку 1×4, дно коробки вымостить не удастся.