Question

Дно прямоугольной коробки размерами 6×10 было выложено плитками размера 2 × 2и1 × 4. Плитки высыпали из коробки и заменили одну плитку 2 × 2 на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.

Answer 1

Рассмотрим раскраску в 4 цвета, такую, что каждая плитка 2 × 2 содержит ровно одну клетку цвета 1, а каждая плитка 1 × 4 - ни одной или две клетки цвета 1. Следовательно, четность числа плиток 2 × 2 должна совпадать с четностью числа клеток цвета 1, что и доказывает утверждение задачи.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим количество плиток каждого размера, которые содержались в исходной конфигурации и новой конфигурации.

В исходной конфигурации площадь дна коробки равна 6 × 10 = 60. Для этого мы использовали плитки размером 2 × 2 и 1 × 4. Рассмотрим количество плиток каждого размера, которые мы использовали:

• Плиток 2 × 2: Так как каждая плитка имеет площадь 2 × 2 = 4, то нам понадобилось 60 / 4 = 15 плиток 2 × 2.

• Плиток 1 × 4: Так как каждая плитка имеет площадь 1 × 4 = 4, то нам понадобилось также 60 / 4 = 15 плиток 1 × 4.

Итак, в исходной конфигурации мы использовали 15 плиток каждого размера.

Теперь рассмотрим новую конфигурацию, в которой мы заменили одну плитку 2 × 2 на плитку 1 × 4. В этой конфигурации количество плиток размера 2 × 2 осталось таким же - 15.

Однако, количество плиток размера 1 × 4 изменилось. Раньше у нас было 15 плиток 1 × 4, а теперь мы заменили одну плитку 2 × 2 на плитку 1 × 4, то есть у нас стало 15 + 1 = 16 плиток 1 × 4.

Таким образом, в новой конфигурации у нас имеется 15 плиток 2 × 2 и 16 плиток 1 × 4. Общая площадь всех плиток равна:

(15 × 4) + (16 × 4) = 60 + 64 = 124.

Так как общая площадь плиток в новой конфигурации составляет 124, а площадь дна коробки равна 60, то мы не сможем полностью покрыть дно коробки плитками в новой конфигурации.