Question

Найдите угол между прямой, проходящей через точки A(-2; 1; 1) и B(0; 2; -1), и прямой, проходящей через точки C(1; 3; 0) и D(2; 1; 3). В ответ введите косинус этого угла, умноженный на

Answer 1

Даны точки  A(-2; 1; 1), B(0; 2; -1), C(1; 3; 0) и D(2; 1; 3).

Вектор АВ = (0-(-2); 2-1; -1-1) = (2; 1; -2), модуль равен √9 = 3.

Вектор CD = (2-1; 1-3; 3-0) = (1; -2; 3), модуль равен √14.

Косинус угла между ними равен:

cos (AB_CD) = (2*1+1*(-2)+(-2)*3)/(3√14) = -6/(3√14) = -2/√14 = -√14/7.

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол). По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].

То есть, угол может быть тупым при отрицательном косинусе его.

Угол равен arccos(-√14/7) = arccos(-0,534522484) = 2,134738968 радиан или 122,3115332 градуса.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между двумя прямыми, проходящими через заданные точки, мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A * B) / (||A|| * ||B||)

Где A и B - векторы, представляющие направления прямых.

Давайте начнем с вычисления векторов для каждой из прямых:

Для прямой, проходящей через точки A(-2, 1, 1) и B(0, 2, -1): Вектор AB = B - A = (0 - (-2), 2 - 1, -1 - 1) = (2, 1, -2)

Для прямой, проходящей через точки C(1, 3, 0) и D(2, 1, 3): Вектор CD = D - C = (2 - 1, 1 - 3, 3 - 0) = (1, -2, 3)

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и CD: AB * CD = (2 * 1) + (1 * (-2)) + (-2 * 3) = 2 - 2 - 6 = -6

Теперь найдем длины векторов AB и CD: ||AB|| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3 ||CD|| = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14

Теперь можем вычислить cos(θ): cos(θ) = (-6) / (3 * √14)

Теперь умножим cos(θ) на √14: cos(θ) * √14 = (-6) / (3 * √14) * √14 = (-6) / (3 * √14) * √(2 * 7) = (-6) / (3 * √(2 * 7)) = (-6) / (3 * √2 * √7) = (-2) / (√2 * √7)

Теперь можем упростить это выражение, домножив его на √2 / √2: (cos(θ) * √14) * (√2 / √2) = (-2 * √2) / (√(2 * 7) * √2) = (-2 * √2) / √(2 * 7 * 2) = (-2 * √2) / √(28)

Таким образом, косинус угла между прямыми, проходящими через заданные точки, умноженный на √14 равен: (-2 * √2) / √28 = (-2 * √2) / (2 * √7) = -√2 / √7

Ответ: -√2 / √7