Question

Решите с помощью кругов Эллера: На кафедрі іноземних мов працюють 37 викладачів, з них французьку викладають 23 викладачі, англійську мову 28 викладачів, усі три мови – три викладачі. Число викладачів, які ведуть заняття лише з англійської мови, дорівнює кількості викладачів, які ведуть заняття тільки з німецької мови. Число викладачів, які ведуть заняття тільки з англійської та німецької мов, дорівнює кількості викладачів, що ведуть заняття тільки з німецької та французької мов. Скільки викладачів викладають одну іноземну мову? Скільки викладачів викладають одну англійську мову?

Answer 1

Ответ:

Скільки викладачів викладають одну іноземну мову? 16, Скільки викладачів викладають одну англійську мову? 7

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу за допомогою кругів Ейлера. Позначимо множини так:

• A - кількість викладачів, які ведуть заняття з французької мови
• B - кількість викладачів, які ведуть заняття з англійської мови
• C - кількість викладачів, які ведуть заняття з німецької мови
• AB - кількість викладачів, які ведуть заняття з французької та англійської мов
• AC - кількість викладачів, які ведуть заняття з французької та німецької мов
• BC - кількість викладачів, які ведуть заняття з англійської та німецької мов
• ABC - кількість викладачів, які ведуть заняття з усіх трьох мов

Ми знаємо такі дані:

1. Всього працює 37 викладачів: A + B + C - AB - AC - BC + ABC = 37

2. З французької мови викладає 23 викладачів: A - AB - AC + ABC = 23

3. З англійської мови викладає 28 викладачів: B - AB - BC + ABC = 28

4. Усі три мови ведуть 3 викладачі: ABC = 3

5. Кількість викладачів, які ведуть заняття лише з англійської мови, дорівнює кількості викладачів, які ведуть заняття тільки з німецької мови: B - AB - BC + ABC = C - AC - BC + ABC

Тепер ми можемо використовувати ці рівняння для вирішення задачі. Давайте розв'яжемо їх.

Спочатку ми можемо визначити ABC за рівнянням (4): ABC = 3

Потім ми можемо визначити C (кількість викладачів, які ведуть тільки з німецької мови) за рівнянням (5): B - AB - BC + 3 = C - AC - BC + 3

Тепер ми можемо визначити AB і AC за рівняннями (2) і (3): A - AB - AC + 3 = 23 B - AB - BC + 3 = 28

З цих рівнянь ми можемо визначити AB і AC: AB = A - 20 BC = B - 25

Тепер ми можемо підставити ці значення в рівняння (5): B - (A - 20) - (B - 25) + 3 = C - AC - (B - 25) + 3

Спростимо це рівняння: A - B + 20 + B - 25 + 3 = C - AC - B + 25 + 3

Зводимо подібні доданки: -22 = C - AC

Тепер ми можемо використовувати рівняння (1) для знаходження A, B і C: A + B + C - AB - AC - BC + 3 = 37

Підставляємо значення AB і AC: A + B + C - (A - 20) - (C - AC) - (B - 25) + 3 = 37

Спростимо це рівняння: A + B + C - A + 20 + C - AC + B - 25 + 3 = 37

Зводимо подібні доданки: A + B + C - A + C + B - AC - 22 = 37

Спростимо ще: 2B + 2C - AC - 22 = 37

Поділимо обидві сторони на 2: B + C - 0.5AC - 11 = 18.5

Тепер ми маємо систему рівнянь:

1. AB = A - 20
2. BC = B - 25
3. -22 = C - AC
4. B + C - 0.5AC - 11 = 18.5

Розв'яжемо цю систему рівнянь, використовуючи підстановки та алгебраїчні методи. Спершу знайдемо C з рівняння (3):

C = AC + 22

Тепер підставимо це в рівняння (2) і знайдемо B:

BC = B - 25 (B - 25)C = B - 25 C = 1

Тепер з рівняння (4) ми знаємо, що ABC = 3. Оскільки C = 1, ми можемо записати:

AB = A - 20

ABС = (A - 20)1 = 3

A - 20 = 3

A = 23

Отже, ми знайшли значення A, B і C:

A = 23 (викладачі, які ведуть тільки з французької мови) B = 28 (викладачі, які ведуть тільки з англійської мови) C = 1 (викладачі, які ведуть тільки з німецької мови)

Отже, 23 викладачі ведуть одну французьку мову, а 28 викладачів ведуть одну англійську мову.