Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-2x^2+8x-2 на отрезке [ 1;4]​

Answer 1

Ответ:

62 наибольшее и 5 наименьшее

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 8x - 2$ на отрезке $[1;4]$, мы сначала найдем критические точки функции в этом интервале, а затем вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 8.$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для поиска критических точек: $3x^2 - 4x + 8 = 0.$

Мы можем решить это уравнение с использованием квадратного уравнения или графически. Давайте воспользуемся методом квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

где $a = 3$, $b = -4$, и $c = 8$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}.$

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{16 - 96}}{6} = \frac{4 + \sqrt{-80}}{6},$

Этот корень является комплексным числом, поэтому его мы не будем учитывать.

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{16 - 96}}{6} = \frac{4 - \sqrt{-80}}{6}.$

Теперь, вычислим значение функции $f(x)$ на концах интервала и в точке $x_2$:

$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 2 = 1 - 2 + 8 - 2 = 5.$ $f(4) = 4^3 - 2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 - 2 = 64 - 32 + 32 - 2 = 62.$ $f(x_2) = \frac{4 - \sqrt{-80}}{6}.$

Наименьшее значение функции на отрезке $[1;4]$ равно 5 (в точке $x = 1$), а наибольшее значение равно 62 (в точке $x = 4$).