Question

19. Через дві труби резервуар можна заповнити за 4 хв. Через першу трубу цей резервуар може заповнитися на 6 хв швидше, ніж через другу. За скільки хвилин заповниться цей резервуар, якщо працює одна перша труба? * 2 балла​

Answer 1

Ответ:

6 хвилин.

Пошаговое объяснение:

Перша труба може заповнити резервуар за х хв., друга за х+6 хв.

За 1 хвилину перша труба заповнить 1/х частину резервуару.

За 1 хвилину друга труба заповнить 1/(х+6) частину резервуару.

За 1 хвилину дві труби можуть заповнити 1/4 частину резервуару.

1/х + 1/(х+6) = 1/4

4х+24+4х-х²-6х=0

-х²+2х+24=0

х²-2х-24=0

За теоремою Вієта х=-4 (не підходить)  х=6

Answer 2

Нехай резервуар заповнюється однією першою трубою протягом $x$ хвилин. Тоді залишковий час для заповнення резервуару за допомогою другої труби (яка повільніша) становить $x + 6$ хвилин.

Припустимо, що за одну хвилину перша труба наповнює $1/x$ резервуару, а друга труба - $1/(x + 6)$ резервуару.

Разом обидві труби заповнюють резервуар за 4 хвилини, тобто сумарний їхній внесок дорівнює 1 (заповнення резервуару):

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = 1.$$

Давайте розв'яжемо це рівняння:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = 1.$$

Спочатку помножимо обидві сторони рівняння на $x(x + 6)$, щоб позбутися дробів:

$$(x + 6) + x = x(x + 6).$$

Розкриємо дужки та спростимо:

$$2x + 6 = x^2 + 6x.$$

Прирівняємо це квадратне рівняння до нуля та розв'яжемо його:

$$x^2 + 6x - 2x - 6 = 0,$$

$$x^2 + 4x - 6 = 0.$$

За допомогою квадратного рівняння ми можемо знайти значення $x$:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}.$$

Розв'язавши це рівняння, отримаємо два значення $x$:

$$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{40}}{2} \approx 1.47,$$

$$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{40}}{2} \approx -5.47.$$

Оскільки час не може бути від'ємним, інтересуємося першим коренем $x_1$.

Отже, якщо працює лише одна перша труба, то резервуар заповниться приблизно за 1.47 хвилини.