Question

Решить Вычислить значения частных производных z', z', в точке M(2;1;-1) для неявно заданной функции 3x-2y+z=xz+5.

Answer 1

.аи

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления частных производных $z'$ и $z''$ по $x$ и $y$ для неявно заданной функции $3x - 2y + z = xz + 5$ в точке $M(2, 1, -1)$, мы можем использовать метод частных производных. Начнем с вычисления частной производной $z'$ по $x$:

1. Возьмем частную производную обеих сторон уравнения по $x$:

   $\frac{\partial}{\partial x}(3x - 2y + z) = \frac{\partial}{\partial x}(xz + 5)$

2. Вычислим частные производные слева и справа:

   $3 - 0 + \frac{\partial z}{\partial x} = z + x\frac{\partial z}{\partial x} + 0$

3. Теперь сгруппируем частные производные $z'$ по $x$ в одну сторону:

   $\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial x} = 3 - z$

4. Факторизуем частные производные $z'$ по $x$:

   $\frac{\partial z}{\partial x}(1 - x) = 3 - z$

5. Теперь выразим $\frac{\partial z}{\partial x}$:

   $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3 - z}{1 - x}$

Теперь, чтобы вычислить значение $\frac{\partial z}{\partial x}$ в точке $M(2, 1, -1)$, подставим $x = 2$ и $z = -1$ в полученное выражение:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$

Итак, значение частной производной $\frac{\partial z}{\partial x}$ в точке $M(2, 1, -1)$ равно -4.

Теперь вычислим частную производную $z'$ по $y$. Для этого повторим те же шаги, но вместо $x$ будем брать частную производную по $y$:

1. Возьмем частную производную обеих сторон уравнения по $y$:

   $\frac{\partial}{\partial y}(3x - 2y + z) = \frac{\partial}{\partial y}(xz + 5)$

2. Вычислим частные производные слева и справа:

   $0 - 2 + \frac{\partial z}{\partial y} = 0 + x\frac{\partial z}{\partial y} + 0$

3. Сгруппируем частные производные $z'$ по $y$ в одну сторону:

   $\frac{\partial z}{\partial y} - x\frac{\partial z}{\partial y} = -2$

4. Факторизуем частные производные $z'$ по $y$:

   $\frac{\partial z}{\partial y}(1 - x) = -2$

5. Выразим