Question

Вычислить значения частных производных функции z(x;y) , заданной неявно в данной точке М0(x0; y; z0): z^3+3xyz+3y=7, M0(1; 1; 1)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

формулы для частных производных функции, заданной неявно

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = -\frac{F'_x}{F'_z} ; \qquad \frac{\delta z}{\delta y} = -\frac{F'_y}{F'_z}$

у нас

$\displaystyle F_x'= 3yz$

$\displaystyle F_y'= 3xz+3$

$\displaystyle F_z'= 3yx+3z^2$

теперь частные производные

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x } = -\frac{3yz}{3xy+3z^2} ; \qquad \frac{\delta z}{\delta x } _{(1;1;1)}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y } = -\frac{3xz+3}{3xy+3z^2} ; \qquad \frac{\delta z}{\delta y } _{(1;1;1)}=-1$

Answer 2

Для вычисления частных производных функции z(x, y), заданной неявно, в точке M0(x0, y0, z0), мы можем использовать метод неявных частных производных. Для этого сначала найдем частные производные по x и y, а затем подставим значения x0, y0 и z0.

Дано уравнение: z^3 + 3xyz + 3y = 7

Найдем частную производную по x (при фиксированном y и z): ∂/∂x (z^3 + 3xyz + 3y) = 0 3z^2 * ∂z/∂x + 3yz + 0 = 0

Теперь найдем частную производную по y (при фиксированном x и z): ∂/∂y (z^3 + 3xyz + 3y) = 0 0 + 3xz + 3 = 0

Теперь мы можем подставить значения x0, y0 и z0, которые равны 1, так как M0(1, 1, 1):

1. Для частной производной по x: 3(1^2) * ∂z/∂x + 3(1)(1) + 0 = 0 3∂z/∂x + 3 = 0

2. Для частной производной по y: 3(1)(1)∂z/∂y + 3(1) + 0 = 0 3∂z/∂y + 3 = 0

Теперь мы можем решить уравнения относительно частных производных ∂z/∂x и ∂z/∂y:

1. 3∂z/∂x + 3 = 0 3∂z/∂x = -3 ∂z/∂x = -1

2. 3∂z/∂y + 3 = 0 3∂z/∂y = -3 ∂z/∂y = -1

Таким образом, значения частных производных функции z(x, y) в точке M0(1, 1, 1) равны: ∂z/∂x = -1 ∂z/∂y = -1