Question

√3sinx×cosx=sin²x, если x принадлежит [0;π÷2]​

Answer 1

Ответ:

x = π/3

Пошаговое объяснение:

√3sinx×cosx=sin²x / : sin x

√3 cosx = sin x

√3 = sin x / cosx

√3 = tg x

x=arctg a+πn

x=arctg√3+πn

x=π/3+πn

При n= 0 - удовлетворяет

x = π/3

При n = 1

x = π/3 + π = 4π/3 - не удовлетворяет так, как больше п/2  (  [0;π÷2]​ )

При n = -1

x = π/3 - π = -2π/3 - не  удовлетворяет так, как меньше 0 (  [0;π÷2]​ )

Остальные проверять не будем так, как нет смысла потому что или больше, или меньше

Answer 2

Чтобы решить уравнение √3sinx×cosx=sin²x, давайте разберемся с ним.

1. Для начала, давайте поделим обе стороны уравнения на sin(x) (предполагая, что sin(x) ≠ 0, так как это не выполняется только при x = 0):

√3cosx = sinx

2. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(√3cosx)² = (sinx)²

3. Упростим обе стороны:

3cos²x = sin²x

4. Теперь используем тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1:

3cos²x + sin²x = 1

5. Поскольку x принадлежит интервалу [0;π÷2], sin(x) > 0, и cos(x) > 0 на этом интервале. Это значит, что мы можем заменить cos²x на 1 - sin²x:

3(1 - sin²x) + sin²x = 1

6. Раскроем скобки:

3 - 3sin²x + sin²x = 1

7. Теперь объединим все слагаемые:

2 - 3sin²x = 1

8. Выразим sin²x:

2 - 3sin²x = 1

-3sin²x = 1 - 2

-3sin²x = -1

sin²x = 1/3

9. Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

sinx = ±√(1/3)

10. В данном случае, x принадлежит интервалу [0;π÷2], где sin(x) положителен. Поэтому мы берем положительный квадратный корень:

sinx = √(1/3)

11. Теперь найдем значение x:

x = arcsin(√(1/3))

Значение arcsin(√(1/3)) приближенно равно x ≈ 0.6155 радиан.

Таким образом, решение уравнения √3sinx×cosx=sin²x при x принадлежащем [0;π÷2] - это x ≈ 0.6155 радиан.