Question

Математика: Докажите что для любых действительных чисел a и b выполняется равенсто:a^2+ab+b^2>=3(a+b-1)​

Answer 1

####################

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство для всех действительных чисел $a$ и $b$.

Рассмотрим левую часть неравенства: $LHS = a^2 + ab + b^2.$

Рассмотрим правую часть неравенства: $RHS = 3(a + b - 1).$

Нам нужно показать, что $LHS \geq RHS$ для всех $a$ и $b$.

Рассмотрим разность $LHS$ и $RHS$: $LHS - RHS = a^2 + ab + b^2 - 3(a + b - 1).$

Разложим это выражение: $LHS - RHS = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 3.$

Теперь преобразуем выражение: $LHS - RHS = a^2 - 2a + ab + b^2 - 3b + 3.$

Давайте выразим $a$ через $b$ с использованием условия $a + b = t$, где $t$ — некоторая фиксированная константа: $a = t - b.$

Теперь подставим это в выражение для $LHS - RHS$: $LHS - RHS = (t - b)^2 - 2(t - b) + b(t - b) + b^2 - 3b + 3.$

Упростим выражение: $LHS - RHS = t^2 - 2tb + b^2 - 2t + 2b + b(t - b) - 3b + 3.$

Раскроем скобки: $LHS - RHS = t^2 - 2tb + b^2 - 2t + 2b + bt - b^2 - 3b + 3.$

Упростим дальше: $LHS - RHS = t^2 - 2tb + bt - 2t - 3b + 3.$

Факторизуем по $t$: $LHS - RHS = t(t - 2b + 1) - 3(b - 1).$

Теперь мы видим, что $LHS - RHS$ факторизуется в произведение двух выражений. Рассмотрим каждое выражение отдельно:

1. $t(t - 2b + 1)$

   Это является квадратным трехчленом от $t$, и его вершина находится при $t = b - \frac{1}{2}$. Подставим эту точку в выражение: $t(t - 2b + 1) = \left(b - \frac{1}{2}\right)\left(b - \frac{1}{2} - 2b + 1\right) = -\frac{3}{4} (b - 1)^2.$

2. $-3(b - 1)$

   Это линейное выражение от $b$, и его нуль при $b = 1$.

Таким образом, $LHS - RHS$ представляется в виде суммы квадратного трехчлена и линейного члена от $b$. Так как $LHS - RHS$ представляется в виде суммы квадратного трехчлена и линейного члена, а коэффициент при $b^2$ 0 0