Question

для функции f(x) выполняется соотношения f(x+3)+f(x)=2x-11 и F(2)=0 , где функция F(x) является первообразной функции f(x). найти F(-2)​

Answer 1

Ответ:

28

Пошаговое объяснение:

Пусть f(x)=ax+b, тогда f(x+3)=a(x+3)+b

f(x+3)+f(x)=2x-11

a(x+3)+b+ax+b=2x-11

ax+3a+ax+2b=2x-11

2ax+3a+2b=2x-11

$\left \{ {{2a=2} \atop {3a+2b=-11}} \right. = > \left \{ {{a=1} \atop {2b=-14}} \right. = > \left \{ {{a=1} \atop {b=-7}} \right.$

$f(x)=x-7 \\ F(x)=\frac{x^2}{2}-7x+C \\ \\ F(2)=0 \ = > \ 0= \frac{2^2}{2}-7*2+C \ = > \ C=12 \\ \\ F(x)=\frac{x^2}{2}-7x+12 \\ \\ F(-2)=\frac{(-2)^2}{2}-7*(-2)+12=28$

Answer 2

Для нахождения функции F(x) по известной функции f(x), которая удовлетворяет соотношению f(x+3) + f(x) = 2x - 11, мы можем использовать процесс интегрирования. Сначала найдем функцию F(x) как интеграл от f(x).

Итак, начнем с интегрирования f(x):

∫[f(x)dx] = F(x) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь мы знаем, что F(2) = 0, поэтому мы можем записать:

F(2) + C = 0,

C = -F(2).

Теперь нам нужно выразить C через f(x) и x. Для этого воспользуемся исходным соотношением:

f(x+3) + f(x) = 2x - 11.

Теперь подставим x = 2 в это уравнение:

f(2+3) + f(2) = 2*2 - 11, f(5) + f(2) = 4 - 11, f(5) + f(2) = -7.

Теперь, выразив C через f(2):

C = -F(2) = -0 = 0.

Итак, мы нашли, что C = 0.

Теперь мы можем записать F(x):

F(x) = ∫[f(x)dx] + C = ∫[f(x)dx] + 0 = ∫[f(x)dx].

Теперь мы можем найти F(-2) как интеграл от f(x) в точке x = -2:

F(-2) = ∫[f(-2)dx].

Мы знаем, что f(x+3) + f(x) = 2x - 11, поэтому можем записать:

f(-2+3) + f(-2) = 2*(-2) - 11, f(1) + f(-2) = -4 - 11, f(1) + f(-2) = -15.

Теперь мы можем выразить интеграл F(-2):

F(-2) = ∫[f(-2)dx] = ∫[-15dx].

Интегрируя постоянную функцию, получаем:

F(-2) = -15x + C.

Теперь, чтобы найти конкретное значение F(-2), нам нужно узнать значение постоянной C. Мы уже знаем, что C = 0 (из начальных условий), поэтому:

F(-2) = -15*(-2) + 0 = 30.

Итак, F(-2) = 30.