Question

Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Одна з них дорівнює 6 см. Відрізок, що з'єднує середини основ трапеції, дорівнює 4,5 см і проходить через точку перетину діагоналей. Знайдіть довжину другої діагоналі.

Answer 1

Ответ:

Длина второй диагонали равна $3\sqrt 5$

Объяснение:

Пусть диагональ $AC = 6$.

Треугольник $BOC$ прямоугольный, причем точка $N$ — середина гипотенузы $BC$, поэтому $ON$ — медиана, $ON = BN = NC = x$.

Аналогично в треугольнике $AOD$ $OP = AP = PD = y$.

По условию $ON + OP = x + y = 4{,}5$.

Продлим нижнее основание за точку $D$ так, что $DQ = BC$. Тогда $DBCQ$ — параллелограмм, $CQ = BD$ — вторая диагональ трапеции.

Так как угол между диагоналями прямой, то треугольник $ACQ$ прямоугольный с катетом $AC = 6$ и гипотенузой

$AQ = AD + DQ = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \cdot 4{,}5 = 9.$

Тогда по теореме Пифагора

$CQ = BD = \sqrt {{9^2} - {6^2}} = \sqrt {81 - 36} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 .$

Answer 2

Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, тобто вони утворюють прямий кут. Це означає, що ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження довжини другої діагоналі.

Одна з діагоналей дорівнює 6 см, і відрізок, який з'єднує середини основ трапеції, дорівнює 4,5 см. Ми можемо уявити собі трапецію з перпендикулярною діагоналлю, що розділяє її на два прямокутні трикутники. Зараз ми шукатимемо довжину другої діагоналі, яка є гіпотенузою цих прямокутних трикутників.

Позначимо довжину другої діагоналі як "d", а відрізок, який з'єднує середини основ, як "a", а іншу діагональ як "b". За теоремою Піфагора:

d^2 = a^2 + b^2

Ми вже знаємо, що "a" дорівнює 4,5 см, і одна з діагоналей (b) дорівнює 6 см. Підставимо ці значення:

d^2 = (4,5 см)^2 + (6 см)^2 d^2 = 20,25 см^2 + 36 см^2 d^2 = 56,25 см^2

Тепер візьмемо квадратний корінь обох боків для знаходження "d":

d = √56,25 см d ≈ 7,5 см

Отже, довжина другої діагоналі трапеції приблизно дорівнює 7,5 см.