Question

В секции художественной гимнастики спортивного клуба 20 девочек, каждая из них в школе увлекается математикой или литературой, а некоторые обоими предметами. Всего математикой увлекается 15 спортсменок, литературой - тоже 15 спортсменок. Все члены секции участвовали в соревнованиях, в которых результаты выступлений оценивались по 20-балльной системе. Оказалось, что средний балл любителей математики - 15,2, а любителей литературы - 14,8. Какое наибольшее значение может принимать средний балл во всей секции?​

Answer 1

Ответ:

Пусть x девочек увлекаются как математикой, так и литературой. Тогда 15-x девочек увлекаются только математикой, а также 15-x девочек увлекаются только литературой. По условию, всего в секции 20 девочек, тогда 2x + (15 - x) + (15 - x) = 20

Решив это уравнение, получим x=5, а значит, 10 девочек увлекаются только математикой, а еще 10 девочек увлекаются только литературой.

Средний балл любителей математики равен 15,2, а любителей литературы - 14,8. Обозначим средний балл только математиков как a, а средний балл только литературов как b. Тогда средний балл всей секции будет равен:

{10a + 10b + 5 \20}{20} = {10a + 10b + 100}{20} = {a+b+10}{2}.

Максимальное значение этого выражения достигается, когда a и b имеют наибольшее возможное значение. Так как средний балл не может превышать 20, то максимальное значение для a и b равно 20. Таким образом, наибольшее возможное значение среднего балла всей секции равно:

{20+20+10}{2}=25.

Таким образом, наибольшее возможное значение среднего балла во всей секции равно 25.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Известно, что в секции 20 девочек, и каждая из них занимается математикой, литературой или обоими предметами.

Пусть $x$ - количество девочек, которые занимаются и математикой, и литературой.

Тогда количество девочек, занимающихся только математикой, будет $15 - x$ (поскольку 15 увлекаются математикой, а $x$ увлекаются и математикой, и литературой, поэтому исключаем их из общего числа).

Аналогично, количество девочек, занимающихся только литературой, будет $15 - x$.

Теперь мы можем выразить средний балл во всей секции через средние баллы по математике и литературе:

$\text{Средний балл в секции} = \frac{15x \cdot 15,2 + (15 - x) \cdot 14,8}{20}$

Нам нужно найти максимальное значение этого выражения при условии $0 \leq x \leq 15$, потому что $x$ не может быть больше 15 (так как всего 15 девочек увлекаются математикой).

Давайте проанализируем это выражение.

$\text{Средний балл в секции} = \frac{228x + 222 - 14x}{20} = \frac{214x + 222}{20} = 10.7x + 11.1$

Максимальное значение этого выражения достигается при $x = 15$ (поскольку $x$ не может быть больше 15), таким образом:

$\text{Максимальный средний балл в секции} = 10.7 \times 15 + 11.1 \approx 171.6$

Таким образом, наибольшее значение среднего балла во всей секции составляет примерно $171.6$ балла.