Question

Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо довжина діаметра основи дорівнює 12 см.

Answer 1

Оскільки діагональ осьового перерізу циліндра утворює з площиною основи кут 30°, то цей переріз є правильним шестикутником зі стороною, що дорівнює діаметру основи циліндра.

За теоремою Піфагора в правильному шестикутнику сторона дорівнює половині діагоналі, помноженій на √3, тому сторона осьового перерізу дорівнює:

a = 0.5 * 12 см * √3 = 6√3 см.

За формулою для площі повної поверхні циліндра:

S = 2πr² + 2πrh,

де r - радіус основи, h - висота циліндра.

Оскільки діаметр основи дорівнює 12 см, то радіус дорівнює:

r = d/2 = 6 см.

Висота циліндра в даному випадку дорівнює стороні осьового перерізу, оскільки циліндр є правильним. Тому:

h = a = 6√3 см.

Підставляючи ці значення в формулу для площі повної поверхні циліндра, маємо:

S = 2π(6 см)² + 2π(6 см)(6√3 см) = 72π + 72π√3 ≈ 343,2 см².

Отже, площа повної поверхні циліндра дорівнює близько 343,2 см².

Answer 2

Діагональ осьового перерізу циліндра є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного основою циліндра та лінією, що з'єднує центр основи з однією з точок перетину діагоналі з площиною основи.

Ми знаємо, що довжина діаметра основи циліндра дорівнює 12 см, і кут між діагоналлю і площиною основи дорівнює 30°. Отже, ми можемо розглянути прямокутний трикутник зі стороною, що рівна радіусу основи циліндра, та однією зі сторін діагоналі як відомої гіпотенузи.

За допомогою тригонометричних функцій можемо знайти довжину радіусу:

sin(30°) = протилежна сторона / гіпотенуза, sin(30°) = r / 12, r = 12 * sin(30°), r = 12 * 0.5, r = 6 см.

Тепер, коли ми знаємо радіус основи (r), можемо знайти площу повної поверхні циліндра. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 2πrh, де "h" - висота циліндра, а площа двох основ циліндра дорівнює 2πr².

Оскільки нам не надано висоту циліндра, ми не можемо точно знати площу поверхні циліндра. Відсутність висоти обмежує нашу можливість визначити площу поверхні циліндра. Для знаходження площі повної поверхні циліндра нам потрібно знати висоту циліндра.