Question

Алгебра 9 клас !!!! 50 БАЛІВ !!! 1) Знайдіть суму перших шести членів арифметичної прогресії, якщо а1 = 14, а6= - 4. 2)Яке число треба поставити між числами 3 і -7, щоб воно разом з даними числами утворювало арифметичну прогресію? 3) Три числа, що в сумі дають 91, становлять геометричну прогресію. Якщо до цих чисел відповідно додати 25, 27 і 1, то ці числа утворять арифметичну прогресію. Знайдіть ці числа

Answer 1

Ответ:

1) 60, 2)-2,

3)

49, 21, 1 (геометрична прогресія)

74, 48, 22 (арифметична прогресія)

або

21, 7, 49 (геометрична прогресія)

46, 34, 22 (арифметична прогресія).

Пошаговое объяснение:

1)

Для знаходження суми перших шести членів арифметичної прогресії скористаємося формулою:

S6 = (а1 + а6) * n / 2, де n - кількість членів прогресії.

У нашому випадку, а1 = 14, а6 = -4, n = 6.

Отже, S6 = (14 - 4) * 6 / 2 = 60.

Відповідь: 60.

2)

Щоб знайти невідоме число в арифметичній прогресії, скористаємося формулою:

an = a1 + (n-1)d, де an - n-й член прогресії, a1 - перший член прогресії, d - різниця прогресії.

У нашому випадку, a1 = 3, а2 = x, а3 = -7. Треба знайти значення x.

Застосуємо формулу для а2 і а3:

a2 = a1 + d

a3 = a1 + 2d

Зі складання двох останніх формул, отримаємо:

2d = a3 - a1 = (-7) - 3 = -10

Отже, d = -5.

Тоді з першої формули отримаємо:

x = a1 + (2-1)d = 3 - 5 = -2.

Відповідь: -2.

3)

Дано, що сума трьох чисел у геометричній прогресії становить 91. Тобто, якщо позначити ці числа як a, ar і ar², то ми маємо:

a + ar + ar² = 91

Також дано, що якщо до цих чисел додати 25, 27 та 1, то ці числа утворять арифметичну прогресію. Якщо позначити ці три числа як b, c і d, то ми маємо:

b, c, d утворюють арифметичну прогресію

b = a + 25

c = ar + 27

d = ar² + 1

За визначенням арифметичної прогресії, ми можемо записати, що:

2c = b + d

2(ar + 27) = (a + ar² + 26)

Знаходженням значення ar з першого рівняння та виразу a = 91 - ar - ar², ми можемо замінити ar у другому рівнянні. Отримаємо:

2(ar + 27) = (91 - ar - ar² + ar² + 25 + 1)

2ar + 54 = 117 - ar

3ar = 63

ar = 21

Тоді, знаходженням a та ar² з першого рівняння, ми можемо знайти всі три числа у геометричній прогресії:

a + ar + ar² = 91

a + 21 + 441/a = 91

a² + 21a + 441 = 91a

a² - 70a + 441 = 0

(a - 49)(a - 21) = 0

Таким чином, ми маємо a = 49 або a = 21. Якщо a = 49, то ar = 21 і ar² = 1. Якщо a = 21, то ar = 7 і ar² = 49. Тому, ми маємо два розв'язки:

49, 21, 1 (геометрична прогресія)

74, 48, 22 (арифметична прогресія)

або

21, 7, 49 (геометрична прогресія)

46, 34, 22 (арифметична прогресія).

Answer 2

Завдання 1: Для знаходження суми перших шести членів арифметичної прогресії використовуємо формулу суми арифметичної прогресії:

S_n = n/2 * (a_1 + a_n),

де S_n - сума перших n членів, a_1 - перший член, a_n - n-й член прогресії.

У нашому випадку: a_1 = 14, a_6 = -4, n = 6.

Знайдемо a_n (6-й член прогресії): a_n = a_1 + (n - 1) * d, a_6 = 14 + (6 - 1) * d, -4 = 14 + 5d.

Віднімаємо 14 від обох сторін: -4 - 14 = 5d, -18 = 5d.

Тепер знаходимо d (різницю між членами прогресії): d = -18 / 5, d = -3.6.

Тепер знаходимо суму перших шести членів прогресії: S_6 = 6/2 * (14 + a_6), S_6 = 3 * (14 + (-4)), S_6 = 3 * (10), S_6 = 30.

Отже, сума перших шести членів арифметичної прогресії дорівнює 30.

Завдання 2: Щоб встановити, яке число треба поставити між числами 3 і -7, щоб вони утворили арифметичну прогресію, спершу знайдемо різницю d між цими числами:

d = (-7) - 3, d = -10.

Тепер ми знаємо, що різниця між послідовними членами арифметичної прогресії дорівнює -10. Щоб вставити число між 3 і -7 і отримати арифметичну прогресію, це число має бути середнім арифметичним між 3 і -7. Знайдемо середнє арифметичне:

(3 + (-7)) / 2 = (-4) / 2 = -2.

Отже, число, яке треба поставити між 3 і -7, щоб утворити арифметичну прогресію, дорівнює -2.

Завдання 3: Нехай перше число у геометричній прогресії буде a, друге - a * r, третє - a * r^2. За умовою:

a + a * r + a * r^2 = 91.

Також, відомо, що якщо до кожного з цих чисел додати 25, 27 і 1 відповідно, то отримаємо арифметичну прогресію. Тобто:

(a + 25) + (a * r + 27) + (a * r^2 + 1) = A.

Де A - перший член арифметичної прогресії.

Далі, розв'яжемо систему рівнянь:

1. a + a * r + a * r^2 = 91,
2. (a + 25) + (a * r + 27) + (a * r^2 + 1) = A.

Розв'язавши систему, знайдемо значення a і r, а потім знайдемо числа:

a = 13, r = 3.

Тепер ми можемо знайти числа геометричної прогресії:

Перше число: a = 13, Друге число: a * r = 13 * 3 = 39, Третє число: a * r^2 = 13 * 9 = 117.

Отже, числа геометричної прогресії дорівнюють 13, 39 і 117, а числа арифметичної прогресії, утворені за умовою, дорівнюють:

13 + 25 = 38, 39 + 27 = 66, 117 + 1 = 118.