Question

Дан ΔАВС с вершинами А (1;2;1), В(3;-1;7), С(7;4;-2). Найти площадь ΔАВС. Быстрее пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для знаходження площі трикутника ΔАВС потрібно знайти довжини його сторін. Для цього можна використати формулу довжини вектора:

|AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

Для зручності позначимо вектори AB, AC та BC через a, b та c відповідно. Тоді:

a = B - A = (3-1;-1-2;7-1) = (2;-3;6)

b = C - A = (7-1;4-2;-2-1) = (6;2;-3)

c = C - B = (7-3;4+1;-2-7) = (4;5;-9)

Застосуємо формулу площі трикутника через довжини сторін:

S = 1/2 |a x b|

де x позначає векторний добуток, тобто:

a x b = ((-3)(-3) - 62; 22 - 66; 2*(-3) - 5*(-3)) = (-3;-32;9)

Отже,

|a x b| = √((-3)² + (-32)² + 9²) = √1034

Тоді площа ΔАВС дорівнює:

S = 1/2 √1034 ≈ 16,09

Отже, площа трикутника ΔАВС приблизно дорівнює 16,09 квадратних одиниць.

Answer 2

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона, если известны длины всех его сторон. Сначала найдем длины сторон ΔАВС.

Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) AB = √((3 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (7 - 1)^2) AB = √(2^2 + (-3)^2 + 6^2) AB = √(4 + 9 + 36) AB = √49 AB = 7

Длина стороны BC: BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2) BC = √((7 - 3)^2 + (4 - (-1))^2 + (-2 - 7)^2) BC = √(4^2 + 5^2 + (-9)^2) BC = √(16 + 25 + 81) BC = √122

Длина стороны CA: CA = √((x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2 + (z1 - z3)^2) CA = √((1 - 7)^2 + (2 - 4)^2 + (1 - (-2))^2) CA = √((-6)^2 + (-2)^2 + 3^2) CA = √(36 + 4 + 9) CA = √49 CA = 7

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника: AB = 7, BC = √122, CA = 7.

Теперь можно найти полупериметр треугольника, который равен сумме длин всех сторон, деленной на 2:

s = (AB + BC + CA) / 2 s = (7 + √122 + 7) / 2 s = (14 + √122) / 2

Теперь, используя формулу Герона, можно найти площадь треугольника:

Площадь ΔАВС = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)] Площадь ΔАВС = √[((14 + √122) / 2) * ((14 + √122) / 2 - 7) * ((14 + √122) / 2 - √122) * ((14 + √122) / 2 - 7)]

Вычисляя это выражение, получим площадь треугольника ΔАВС.