Question

Доведіть, що функція у = f(x) зростає на всій області визначення a) f(x) = x³ + 3; б) f(x) = 4x- 1; в) f(x) = 5 +√x. ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a)f'(x) = 3x² > 0

Оскільки 3x² є додатнім числом для всіх значень x (оскільки квадрат дійсного числа завжди не від'ємний), то маємо, що похідна f'(x) додатна на всьому діапазоні значень x. Тому функція f(x) = x³ + 3 зростає на всій області визначення.

b)f'(x) = 4

f'(x) є постійним числом, тобто не залежить від значення x. Оскільки f'(x) = 4 > 0, то маємо, що похідна f'(x) додатна на всьому діапазоні значень x. Тому функція f(x) = 4x - 1 зростає на всій області визначення.

c)f'(x) = (5 + √x)

Шукаємо похідну:

f'(x) = 0 + 1/(2√x) = 1/(2√x)

Оскільки корінь √x завжди додатній  на діапазоні значень x > 0, а дріб 1/(2√x) завжди додатній на цьому діапазоні, то маємо, що похідна f'(x) додатна на всьому діапазоні значень x > 0, що в свою чергу означає, що функція зростає на всій області визначення, тобто на всьому діапазоні значень x > 0.

Answer 2

Для доведення того, що функція зростає на всій області визначення, нам потрібно показати, що її похідна є додатною на цій області. Функція зростає, коли її похідна додатна, і функція спадає, коли її похідна від'ємна.

a) f(x) = x³ + 3: Спочатку знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 3x²

Тепер ми можемо аналізувати знак похідної. Похідна f'(x) дорівнює 3x², і ця функція завжди додатня для будь-якого x (оскільки квадрат числа завжди не від'ємний), тобто f'(x) > 0 для всіх x. Отже, функція f(x) = x³ + 3 зростає на всій області визначення.

б) f(x) = 4x - 1: Знайдемо похідну цієї функції:

f'(x) = 4

Похідна f'(x) дорівнює постійному числу 4, що завжди є додатнім. Отже, функція f(x) = 4x - 1 також зростає на всій області визначення.

в) f(x) = 5 + √x: Знайдемо похідну цієї функції:

f'(x) = (1/2) * x^(-1/2)

Похідна f'(x) дорівнює (1/2) * x^(-1/2), яка є додатною для всіх додатних значень x (оскільки корінь з додатнього числа завжди є додатнім), і функція f(x) = 5 + √x відповідно зростає на всій області визначення (тобто для x > 0).

Отже, у всіх трьох випадках функції a), б) і в) зростають на своїй області визначення.