Question

Доведіть, що задана функція- зростає на всій області визначенняf(x)=x^3-x^2+x-7​

Answer 1

Ответ:

F(x)' = 3x^2-2x+1

Потом к каждому из промежутков подставить значение и посчитать. Это докажет, что везде положительные значения, а значит функция всегда возрастает

Answer 2

Для того чтобы доказать, что данная функция f(x) = x^3 - x^2 + x - 7 возрастает на всей области определения, нам нужно показать, что её производная положительна на этой области.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x^3 - x^2 + x - 7) = 3x^2 - 2x + 1

2. Теперь рассмотрим знак производной на всей числовой прямой. Мы можем воспользоваться методом интервалов и анализировать знаки производной на разных интервалах.

   a) Положим выражение 3x^2 - 2x + 1 равным нулю и найдем его корни: 3x^2 - 2x + 1 = 0 Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = -8

   Так как дискриминант отрицателен, уравнение имеет два комплексных корня.

   b) Рассмотрим знак производной на интервалах между корнями уравнения 3x^2 - 2x + 1 = 0.

   Выберем три значения: x1, x2, x3, где x1 < x2 < x3.

   Для x < x1: Подставим любое значение меньше x1 в производную: f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 При подстановке x < x1, все слагаемые положительны, следовательно, f'(x) > 0.

   Для x1 < x < x2: Подставим значение между x1 и x2 в производную: f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 Здесь слагаемое -2x будет отрицательным, но оно компенсируется положительным слагаемым 3x^2 и 1. Таким образом, f'(x) > 0.

   Для x > x2: Подставим любое значение больше x2 в производную: f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 В данном интервале все слагаемые положительны, следовательно, f'(x) > 0.

3. Исходя из анализа знаков производной на разных интервалах, мы видим, что производная f'(x) положительна на всей числовой прямой. Это означает, что функция f(x) = x^3 - x^2 + x - 7 возрастает на всей области определения.

Таким образом, мы доказали, что заданная функция f(x) возрастает на всей области определения.