Question

Доведіть, що задана функціязростає на всій області визначенняf(x)=x^3+5х​

Answer 1

Ответ:

Доказать, что заданная функция возрастает

на всей обл. определения.

Answer 2

Для того щоб довести, що задана функція f(x) = x^3 + 5x є зростаючою на всій області визначення, ми можемо дослідити знак її похідної.

1. Знайдемо похідну функції f(x):

   f(x) = x^3 + 5x f'(x) = 3x^2 + 5

2. Дослідимо знак похідної на всій області визначення. Для цього знайдемо точки, в яких похідна може змінити знак:

   3x^2 + 5 = 0 3x^2 = -5 x^2 = -5/3

   Зверніть увагу, що рівняння x^2 = -5/3 не має розв'язків в дійсних числах, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди не може бути від'ємним. Таким чином, похідна не має жодних нулів або критичних точок на всій області визначення.

3. Оскільки похідна не має жодних нулів або критичних точок, ми можемо визначити знак похідної на будь-якому інтервалі. Давайте розглянемо два випадки:

   3.1. Коли x > 0: У цьому випадку 3x^2 буде завжди додатнім, оскільки квадрат будь-якого додатного числа також додатний. Також, додатне доданок 5 не змінює знак похідної на цьому інтервалі.

   3.2. Коли x < 0: Тут 3x^2 залишається додатнім, оскільки квадрат будь-якого від'ємного числа також додатний. Додатний доданок 5 також не змінює знак похідної на цьому інтервалі.

Отже, на всій області визначення, яка включає в себе всі дійсні числа, похідна функції завжди позитивна або невід'ємна (не може бути від'ємною). Це означає, що функція f(x) = x^3 + 5x є зростаючою на всій своїй області визначення.