Question

Определить, при каких значениях а и b плоскости 2x - y + 3z - 1 = 0 x + 2y - z + b = 0 x + ay - 6z + 10 = 0 проходят через одну прямую С объяснением пожалуйста)))

Answer 1

Ответ:Дві площини проходять через одну пряму, якщо вони мають спільний напрямок нормалей.

Нормаль до першої площини:(2, -1, 3)

Нормаль до другої площини: (1, 2, -1)

Нормаль до третьої площини:(1, a, -6)

Для того, щоб дві площини проходили через одну пряму, їх напрямки повинні бути колінеарними.

Іншими словами, вони мають бути пропорційними.

Отже, розв'язуємо наступну систему рівнянь:2/1 = -1/2 = 3/(-1) = k

1/2 = 2/(-1) = (-6)/a = kЗ

першого рівняння отримуємо: k = -

Підставляючи k в друге рівняння, маємо: 3a = -12, тобто a = 4 Таким чином, щоб площини проходили через одну пряму, потрібно взяти значення

k = -2, a = 4.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях параметров "a" и "b" плоскости проходят через одну прямую, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Запишем уравнения плоскостей в параметрической форме, используя нормальное уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:

   Ax + By + Cz + D = 0

   Где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, а (x, y, z) - координаты точки на плоскости.

2. Найдем нормальные векторы к каждой из трех плоскостей:

   Первая плоскость: 2x - y + 3z - 1 = 0 Нормальный вектор: (2, -1, 3)

   Вторая плоскость: x + 2y - z + b = 0 Нормальный вектор: (1, 2, -1)

   Третья плоскость: x + ay - 6z + 10 = 0 Нормальный вектор: (1, a, -6)

3. Теперь мы должны определить, когда два из этих нормальных векторов коллинеарны, так как это будет означать, что соответствующие плоскости пересекаются по одной и той же прямой. Для этого найдем угол между парами нормальных векторов и проверим, когда этот угол равен 0 градусов.

   Угол между нормальными векторами (2, -1, 3) и (1, 2, -1):

   cos(θ) = ((2)(1) + (-1)(2) + (3)(-1)) / (√(2^2 + (-1)^2 + 3^2) * √(1^2 + 2^2 + (-1)^2)) cos(θ) = (-1) / (√(4 + 1 + 9) * √(1 + 4 + 1)) cos(θ) = (-1) / (√14 * √6)

   Угол между нормальными векторами (2, -1, 3) и (1, a, -6):

   cos(θ) = ((2)(1) + (-1)(a) + (3)(-6)) / (√(2^2 + (-1)^2 + 3^2) * √(1^2 + a^2 + (-6)^2)) cos(θ) = (-6 - a) / (√14 * √(a^2 + 37))

4. Чтобы два вектора были коллинеарными (угол между ними равен 0), косинус угла между ними должен быть равен 1. Таким образом, мы можем установить следующее уравнение:

   (-1) / (√14 * √6) = (-6 - a) / (√14 * √(a^2 + 37))

5. Теперь решим это уравнение для "a":

   (-1) / (√6) = (-6 - a) / (√(a^2 + 37))

   Когда мы умножаем обе стороны на √(a^2 + 37) и переносим члены с "a" влево:

   -√(a^2 + 37) = -6√6 - a√(a^2 + 37)

6. Теперь решим это уравнение для "a". Сначала избавимся от отрицательных знаков:

   √(a^2 + 37) = a√(a^2 + 37) - 6√6

   Теперь переносим все члены с "a" на одну сторону:

   √(a^2 + 37) - a√(a^2 + 37) = -6√6

   Факторизуем "a" слева:

   (√(a^2 + 37))(1 - a) = -6√6

   Теперь делим обе стороны на (1 - a):

   √(a^2 + 37) = (-6√6) / (1 - a)

   Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   a^2 + 37 = (36 * 6) / (1 - a)^2 a^2 + 37 = 216 / (1 - a)^2

7. Теперь решим это уравнение для "a". Сначала умножим обе стороны на (1 - a)^2:

   (a^2 + 37)(1 - a)^2 = 216

8. Раскроем квадрат:

   (a^2 + 37)(1 - 2a + a^2) = 216

9. Раскроем скобки и упростим:

   a^4 - 2a^3 + a^2 + 37 - 74a^2 + 37a = 216

10. Переносим все члены на одну сторону:

a^4 - 2a^3 - 73a^2 + 37a - 179 = 0

11. Это квадратное уравнение вида:

a^4 - 2a^3 - 73a^2 + 37a - 179 = 0

12. Теперь нужно найти значения "a", при которых это уравнение имеет корни. К сожалению, решение этого уравнения не такое простое, и оно может потребовать численных методов для нахождения корней.

13. После того как найдены корни уравнения, можно будет использовать их значения для "a" в уравнении для "b" (из шага 3) и определить, при каких значениях "b" плоскости проходят через одну прямую.