Question

Знайти площу фігури обмеженої лініями y=x^2 та y=x+2​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

x^2 = x + 2

x^2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

Звідси отримуємо дві точки перетину: x = 2 і x = -1.

Площа фігури обмеженої цими двома кривими може бути обчислена як інтеграл від різниці цих двох функцій від x = -1 до x = 2:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де f(x) = x^2, g(x) = x + 2, a = -1 і b = 2.

S = ∫[-1, 2] (x^2 - (x + 2)) dx

S = ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2) dx

Щоб обчислити цей інтеграл, потрібно виконати підінтегральну функцію та обчислити його значення в межах від -1 до 2.

Після виконання необхідних обчислень отримаємо значення площі фігури.

Будь ласка, виконайте обчислення або скористайтеся калькулятором для отримання числового значення площі.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = x + 2, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити відповідну площу між цими двома кривими.

Спершу знайдемо точки перетину ліній y = x^2 та y = x + 2. Потрібно знайти значення x, для яких x^2 = x + 2.

Розв'яжемо це рівняння:

x^2 = x + 2 x^2 - x - 2 = 0

Тепер знайдемо значення x, використовуючи квадратне рівняння:

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 41(-2))) / (2*1) = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2

Таким чином, ми маємо дві точки перетину: x1 = (1 + 3) / 2 = 2 та x2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Тепер обчислимо відповідні значення y для цих точок:

Для x1 = 2: y1 = x1^2 = 2^2 = 4

Для x2 = -1: y2 = x2^2 = (-1)^2 = 1

Тепер ми знаємо дві точки перетину: (2, 4) та (-1, 1).

Далі, для знаходження площі між цими кривими, візьмемо від інтегралу модуль різниці функцій y = x^2 та y = x + 2 від x = -1 до x = 2:

Площа = ∫[-1 to 2] |(x^2 - (x + 2))| dx

Розрахунок інтегралу:

Площа = ∫[-1 to 2] |(x^2 - x - 2)| dx = ∫[-1 to 2] |(x^2 - x - 2)| dx = ∫[-1 to 2] (x^2 - x - 2) dx (так як x^2 - x - 2 вже невід'ємна від -1 до 2)

Знаходимо інтеграл: = [(1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x] | [-1 to 2] = [(1/3)(2^3) - (1/2)(2^2) - 2(2)] - [(1/3)(-1^3) - (1/2)(-1^2) - 2(-1)] = [(8/3) - (4/2) - 4] - [(-1/3) - (1/2) + 2] = (8/3) - 2 - 4 + (1/3) + (1/2) - 2 = -19/6.

Отже, площа фігури обмеженої лініями y = x^2 та y = x + 2 дорівнює 19/6 (або близько 3,17 квадратних одиниць).