Question

При якому значенні a рівняння 3x² - 6x + a = 0 має один корінь? Знайдіть цей корінь. А) -3; 1 Б) 3; 1 В) -5; 2 Г) 5; -2 ​

Answer 1

Для того щоб рівняння 3x² - 6x + a = 0 мало один корінь, дискримінант цього рівняння має бути рівний нулю. Дискримінант квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 обчислюється за формулою D = b² - 4ac.

Таким чином, ми маємо рівняння: D = (-6)² - 4 * 3 * a = 0

Подальше спрощення цього виразу дає: 36 - 12a = 0

Розв'язавши це рівняння відносно a, отримуємо: a = 3

Отже, відповідь на питання: При значенні a = 3, рівняння 3x² - 6x + a = 0 має один корінь.

Це відповідає варіанту:
Б) 3; 1

Answer 2

Для того щоб рівняння квадратне мало один корінь, дискримінант цього рівняння повинен бути рівним нулю. Дискримінант рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ обчислюється за формулою:

$D = b^2 - 4ac.$

У вашому випадку $a = 3$, $b = -6$ і $c = a$, тобто $c = a$. Таким чином, ми можемо записати рівняння для обчислення дискримінанту як:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a.$

Тепер нам потрібно знайти значення $a$, при якому $D = 0$. Запишемо рівняння:

$(a - 6)^2 - 12a = 0.$

Розкладемо квадрат і спростимо рівняння:

$a^2 - 12a + 36 - 12a = 0.$

Після спрощення ми отримуємо:

$a^2 - 24a + 36 = 0.$

Тепер ми можемо вирішити це рівняння за допомогою квадратного кореня. Ми знаємо, що дискримінант $D$ дорівнює нулю, тобто:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 0.$

Отже, маємо:

$a = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-24)}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12.$

Отже, рівняння $3x^2 - 6x + a = 0$ матиме один корінь при $a = 12$. Тепер ми можемо знайти цей корінь, підставивши $a = 12$ у рівняння:

$3x^2 - 6x + 12 = 0.$

Для знаходження коренів цього рівняння ми можемо використовувати квадратну формулу:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

У нашому випадку $a = 3$, $b = -6$, і $D = 12$, тому:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}.$

Тепер можна спростити обидва корені:

$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{6} = \frac{2 + \sqrt{3}}{3},$

$x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}.$

Отже, при $a = 12$ рівняння $3x^2 - 6x + 12 = 0$ має два корені: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$ і $x_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$. Немає варіанту з одним корінем, тому жоден із варіантів відповідей (А, Б, В, Г) не підходить.