Question

Розв'яжіть рівняння: х²+у²+4х+12у+40=0

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання цього квадратного рівняння, ми можемо спробувати застосувати метод завершення квадрату. Спочатку, давайте перепишемо рівняння, групуючи терміни змінних х та у:

х² + 4х + у² + 12у + 40 = 0

Тепер ми помічаємо, що перші три члени (х² + 4х) можуть бути представлені як квадратний тричлен (x + 2)², аналогічно, останні три члени (у² + 12у) можуть бути представлені як квадратний тричлен (у + 6)². Використовуючи це спостереження, ми можемо переписати рівняння таким чином:

(x + 2)² + (y + 6)² - 4 - 36 + 40 = 0

(x + 2)² + (y + 6)² = 0

Тепер ми бачимо, що квадратні тричлени (x + 2)² та (y + 6)² повинні дорівнювати нулю, оскільки сума двох додатних чисел не може бути рівна нулю. Тому, ми отримуємо два рівняння:

x + 2 = 0 -> x = -2

y + 6 = 0 -> y = -6

Отже, рівняння має єдиний розв'язок: x = -2, y = -6.

Answer 2

Це рівняння - це квадратне рівняння відносно змінних x і y. Щоб розв'язати його, спробуємо використати метод завершення квадрату.

Спершу розглянемо змінну x: x² + 4x = x² + 4x + 4 - 4 = (x + 2)² - 4.

Тепер розглянемо змінну y: y² + 12y = y² + 12y + 36 - 36 = (y + 6)² - 36.

Підставимо ці результати в початкове рівняння: (x + 2)² - 4 + (y + 6)² - 36 + 40 = 0.

Після спрощення отримаємо: (x + 2)² + (y + 6)² = 0.

Тепер ми можемо побачити, що обидві квадратні доданки є додатніми (або нульовими), і сума ніколи не може дорівнювати нулю. Отже, це рівняння не має розв'язків в дійсних числах.

В загальному випадку, якщо a і b - додатні числа, то a² + b² завжди більше або дорівнює 2ab, і рівність a² + b² = 0 може виконуватися лише в тому випадку, якщо a = 0 і b = 0. У нашому випадку a = (x + 2) і b = (y + 6), і обидві вони не можуть бути нульовими одночасно. Тому розв'язків немає.