Question

Знайти інтеграл ∫ (5х+2)⁹dx​

Answer 1

Решение.

Интеграл от линейной функции:  $\bf \displaystyle \int (kx+b)^{n}\, dx=\dfrac{(kx+b)^{n+1}}{k\cdot (n+1)}+C$

$\bf \displaystyle \int (5x+2)^{9}\, dx=\dfrac{(5x+2)^{10}}{5\cdot 10}+C=\dfrac{(5x+2)^{10}}{50}+C$

Answer 2

Щоб знайти інтеграл ∫(5x + 2)^9 dx, вам знадобиться використовувати формулу біноміального розкладу, оскільки степінь біноміального виразу дорівнює 9.

Спершу розкладемо вираз (5x + 2)^9 за допомогою біноміального розкладу:

(5x + 2)^9 = C(9,0)(5x)^9(2)^0 + C(9,1)(5x)^8(2)^1 + C(9,2)(5x)^7(2)^2 + ... + C(9,9)(5x)^0(2)^9

Де C(n, k) - це біноміальний коефіцієнт, обчислюється як C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

Тепер ми можемо обчислити інтеграл від кожного члена цього розкладу і потім додати їх разом:

∫(5x + 2)^9 dx = C(9,0) ∫(5x)^9 dx + C(9,1) ∫(5x)^8 * 2 dx + C(9,2) ∫(5x)^7 * 2^2 dx + ... + C(9,9) ∫2^9 dx

Зараз ми можемо обчислити кожен з інтегралів:

∫(5x)^9 dx = (5/10)x^10 + C₁ ∫(5x)^8 * 2 dx = (5/9)(2/10)x^9 + C₂ ∫(5x)^7 * 2^2 dx = (5/8)(2/10)^2x^8 + C₃ ... ∫2^9 dx = (2^10/10) + C₁₀

Тепер додайте ці інтеграли разом і додайте константи інтегрування:

∫(5x + 2)^9 dx = C(9,0) * [(5/10)x^10 + C₁] + C(9,1) * [(5/9)(2/10)x^9 + C₂] + C(9,2) * [(5/8)(2/10)^2x^8 + C₃] + ... + C(9,9) * [(2^10/10) + C₁₀]

Тут C₁, C₂, C₃ і так далі - це константи інтегрування для кожного з інтегралів.