Question

Знайти інтеграл: інтеграл dx/(2+x)^3

Answer 1

∫$\frac{dx}{(2+x)^3} =$  
∫$(2+x)^{-3}dx= \frac{ (2+x)^{-4} }{4}+C$=$\frac{1}{ 4(2+x)^{4} } +C$.

Answer 2

Даний інтеграл можна знайти за допомогою методу підстановки. Використовуючи заміну \( u = 2+x \), ми отримаємо \( du = dx \), і вираз під знаком інтегралу буде мати вигляд \( du / u^3 \). Таким чином, інтеграл можна записати у вигляді:

\[ \int \frac{1}{u^3} du \]

Щоб обчислити цей інтеграл, ми можемо скористатися відомими правилами інтегрування. Інтеграл від \( u^n \) дорівнює \( \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \), де \( C \) - це довільна константа.

Таким чином, після підстановки отримаємо:

\[ \int \frac{1}{u^3} du = \frac{1}{-2}u^{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C \]

Тепер, підставивши назад вираз для \( u \), отримаємо відповідь у вихідних змінних:

\[ -\frac{1}{2(2+x)^2} + C \]

Отже, отримали вираз для інтегралу:

\[ \int \frac{dx}{(2+x)^3} = -\frac{1}{2(2+x)^2} + C \]

де \( C \) - це довільна константа, що виникає при підрахунках неозначеного інтегралу.